3.3 子空间和投影

3.3.1-3
略。
3.3.4
1. ${\mathbb{R}}^5$中的两个三维子空间是否可能正交？
2. 设$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& & & & \\ & 0& 1& & & \\ & & 0& 0& & \\ & & & 0& 1& \\ & & & & 0& 1\\ & & & & & 0\end{array}\right]$，则$\mathcal{R}(A)$和$\mathcal{N}(A)$是否正交？是否互为正交补？
1.解：
不可能正交。若正交，则说明存在6个线性无关的向量，这与${\mathbb{R}}^5$矛盾。
2.解：
$\mathcal{R}(A)=\mathrm{span}({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_4,{\mathbf{e}}_5),\mathcal{N}(A)=\mathrm{span}({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_4)$。他们不正交，也不互为正交补。
3.3.5 设$6$阶方阵$A$满足$A^3=O$，它的秩最大为多少？举例说明，在$A,A^2$的行空间，零空间和左零空间之中，哪些互相正交？
解：
设$\mathrm{rank}(A)=r$，于是$A^3=A\cdot A^2=O⟹\mathcal{R}(A^2)\subseteq \mathcal{N}(A)⟹r\le n-r⟹r\le 3.$ 举例略。
3.3.6 设${\mathbb{R}}^n$的子空间$\mathcal{M}=\mathrm{span}({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_s)$，证明${\mathcal{M}}^{\perp }=\{\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n\mid {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i=0,i=1,2,\cdots ,s\}.$
证明： $${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i=0,i=1,2,\cdots ,s⟺\mathbf{b}\perp \mathrm{span}({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_s)⟺\mathbf{b}\in {\mathcal{M}}^{\perp }.$$ 3.3.7 对向量组$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\}$,定义$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k{\}}^{\perp }$为与这些向量都正交的向量所构成的子集。
1.证明$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k{\}}^{\perp }$是一个子空间。
2.构造矩阵$A$,使得$\mathcal{N}(A)=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k{\}}^{\perp }.$ 3.证明$(\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k{\}}^{\perp }{)}^{\perp }=\mathrm{span}({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k).$ 1.
显然。
2.解：
$A=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{v}}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{v}}_k^{\mathrm{T}}\end{array}\right].$ 3.证明：$$(\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k{\}}^{\perp }{)}^{\perp }=\mathcal{N}(A{)}^{\perp }=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})=\mathrm{span}({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k).$$ 3.3.8 集合运算有 De Morgan 定律：对给定集合的两个子集$X,Y,X\cap Y$的补集等于$X$的补集与$Y$的补集的并集；$X\cup Y$的补集等于$X$的补集与$Y$的补集的交集. 子空间是否也有类似的法则呢？设${\mathbb{R}}^m$的两个子空间$\mathcal{M},\mathcal{N}$,不妨设存在矩阵$A,B$,使得$\mathcal{M}=\mathcal{R}(A),\mathcal{N}=\mathcal{R}(B).$
1. $\mathcal{M}+\mathcal{N}$是哪个矩阵的列空间？因此，$(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }$ 是该矩阵的什么空间？
2. ${\mathcal{M}}^{\perp },{\mathcal{N}}^{\perp },{\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }$分别是哪个矩阵的零空间？
3. 证明 De Morgan 定律的子空间版本：$(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp },(\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }.$ 1.解：
设$P=\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right]$，则$\mathcal{M}+\mathcal{N}$是$P$的列空间，$(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }$是$P$的左零空间。
2.解：
${\mathcal{M}}^{\perp }=\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}),{\mathcal{N}}^{\perp }=\mathcal{N}(B^{\mathrm{T}}),{\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }=\mathcal{N}(P^{\mathrm{T}}).$ 3.证明：
先证$(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }.$ 设$\mathbf{x}\in (\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }=\mathcal{N}(P^{\mathrm{T}})$，则$P^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ B^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\end{array}\right]=0⟹\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})\cap \mathcal{N}(B^{\mathrm{T}})⟹\mathbf{x}\in {\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }⟹(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }\subseteq {\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }(1)$ 又设$\mathbf{x}\in {\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }⟹\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})\cap \mathcal{N}(B^{\mathrm{T}})⟹P^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\\ B^{\mathrm{T}}\mathbf{x}\end{array}\right]=0⟹\mathbf{x}\in (\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }⟹{\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }\subseteq (\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }(2)$ 由$(1)(2)$得$(\mathcal{M}+\mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }\cap {\mathcal{N}}^{\perp }.$ 再证$(\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }.$ 设$\mathbf{x}\in (\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp },\mathbf{a}\in \mathcal{M}\cap \mathcal{N}$，于是$⟨\mathbf{a},\mathbf{x}⟩=0⟹\mathbf{x}\in {\mathcal{M}}^{\perp }$。而${\mathcal{M}}^{\perp }\subseteq {\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }⟹(\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }\subseteq {\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }(3)$ 又设$\mathbf{a}\in {\mathcal{M}}^{\perp },\mathbf{b}\in {\mathcal{N}}^{\perp },\mathbf{x}\in \mathcal{M}\cap \mathcal{N}$，则$\mathbf{a}+\mathbf{b}\in {\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }⟹⟨\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{x}⟩=⟨\mathbf{a},\mathbf{x}⟩+⟨\mathbf{b},\mathbf{x}⟩=0⟹\mathbf{a}+\mathbf{b}\in (\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }⟹{\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }\subseteq (\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }(4)$ 由$(3)(4)$得$(\mathcal{M}\cap \mathcal{N}{)}^{\perp }={\mathcal{M}}^{\perp }+{\mathcal{N}}^{\perp }.$ 3.3.9-12
略。
3.3.13 证明命题3.3.12. 给定${\mathbb{R}}^n$的子空间$\mathcal{M}$和向量$\mathbf{a}$，而${\mathbf{a}}_1={\mathbf{P}}_{\mathcal{M}}(\mathbf{a})$为$\mathbf{a}$在$\mathcal{M}$上的正交投影，则$\Vert \mathbf{a}-{\mathbf{a}}_1\Vert =\underset{\mathbf{x}\in \mathcal{M}}{\min }\Vert \mathbf{a}-\mathbf{x}\Vert .$ 证明：
向量$\mathbf{x}-{\mathbf{a}}_1,\mathbf{a}-{\mathbf{a}}_1,\mathbf{a}-\mathbf{x}$组成了一个直角三角形，其中$\mathbf{x}-{\mathbf{a}}_1,\mathbf{a}-{\mathbf{a}}_1$是直角边。由勾股定理有$\Vert \mathbf{a}-{\mathbf{a}}_1\Vert \le \Vert \mathbf{a}-\mathbf{x}\Vert$，当且仅当$\mathbf{x}={\mathbf{a}}_1$时等号成立。
3.3.14 说明满足下列条件的矩阵是否存在,如果存在,举例说明:
1.$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\end{array}\right]\in \mathcal{R}(A),\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\in \mathcal{N}(A).$ 2.$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\end{array}\right]\in \mathcal{R}(A^{\mathrm{T}}),\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\in \mathcal{N}(A).$ 3. $A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$有解，且$A$的左零空间包含$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right].$ 4. $A$不是零矩阵，且$A$的每一行的转置垂直于$A$的每一列。
5. $A$非零，且$\mathcal{R}(A)=\mathcal{N}(A).$ 6. $A$的所有列向量的和是零向量，且所有行向量的和是分量均为$1$的向量。
7. $A,B$均为非零的正交投影矩阵，且$A+B$仍是正交投影矩阵。
8. $A,B$均为正交投影矩阵，但$A+B$并不是正交投影矩阵。
9. $A,B,C$均为非零的三阶正交投影矩阵，且$A+B+C=I_3.$ 1.存在。 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& -3& 1\\ -3& 5& -2\end{array}\right].$ 2.不存在。$\mathcal{N}(A{)}^{\perp }\ne \mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})$ 3.不存在。设$A=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{a}}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{a}}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$，$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$有解$⟹{\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=1$，但${\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}A=0⟹{\mathbf{a}}_1=0$。矛盾。
4.存在。只需要$A^2=O$即可。如$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$ 5.存在。只需要$A^2=O$即可。如$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$ 6.不存在。设$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n,\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^m$，$A$是$m\times n$矩阵，则$A\mathbf{x}=0,{\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}A={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}⟹0={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}0={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=n$。矛盾。
7.存在。$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。实际上，$A+B$也是正交投影矩阵当且仅当$AB=BA=O$，也当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。证明见练习3.3.15(8)。
8.存在。令$A=B$即可。
9.存在。令$A=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathbf{e}}_2& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right]$即可。
3.3.15 下列说法中，哪些正确？
1. $A$的所有行的转置与$A^{-1}$的所有行的转置对应正交。
2. $A$的所有行的转置与$A^{-1}$的所有列对应正交。
3. $A$的所有列与$A^{-1}$的所有行的转置对应正交。
4. $A$的所有列与$A^{-1}$的所有列对应正交。
5. 如果向量$\mathbf{v}$与$\mathbf{w}$正交,则${\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$与${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$的解集互相正交。
6. 如果$A$是正交投影矩阵,则$A$的第$k$列的长度的平方等于$A$的第$k$个对角元素。
7. 如果$A,B$是正交投影矩阵,则$AB=BA$当且仅当$AB$也是正交投影矩阵。
8. 如果$A,B$是正交投影矩阵，则$A+B$是正交投影矩阵当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。
1.不正确。令$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right],A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]$，显然$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$都不正交。
2.本题中“对应正交”一词的含义比较模糊。设$A=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{a}}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right],A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$，由$A{A}^{-1}=I_n$得${\mathbf{a}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{b}}_j=0⟺i\ne j$。即$A$第$i$行的转置和$A^{-1}$第$j$列$(i\ne j)$正交。
3.命题与(2)等价
4.不正确。令$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right],A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]$，显然$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$都不正交。
5.不正确。令$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，则${\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$和${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$的解集均包含$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$ 6.正确。设$A=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$，则$A=A^{\mathrm{T}}A=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_m\\ {\mathbf{a}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_m\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{a}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_m\end{array}\right]$。显然，第$k$列长度的平方${\mathbf{a}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_k$等于$A$的第$k$个对角元。
7.正确。$AB=BA⟺(AB{)}^{\mathrm{T}}=BA=AB,(AB{)}^2=ABAB=AABB=AB⟺AB$是正交投影矩阵。
8.正确。$A+B$也是正交投影矩阵当且仅当$AB=BA=O$，也当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。
证明：
先证$A+B$是正交投影矩阵$⟹AB=BA=O.$ $A+B$是正交投影矩阵$⟹(A+B{)}^2=A^2+B^2+AB+BA=A+B+AB+BA=A+B⟹AB=-BA(1)$ $(1)$式右乘$B$得$AB=-BAB$，而$BAB$是对称矩阵，所以$AB$也是对称矩阵。即$AB=(AB{)}^{\mathrm{T}}=BA(2)$ 由(1)(2)立得$AB=BA=O.$ 再证$AB=BA=O⟹\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{R}(B).$ 设$A=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$，注意$A=A^{\mathrm{T}}$。所以$AB=O⟹{\mathbf{a}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{b}=0(i,j=1,2,\cdots ,n)⟹\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{R}(B).$ 最后证$\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{R}(B)⟹A+B$是正交投影矩阵。
$\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{R}(B)⟹AB=BA=O⟹(A+B{)}^2=A+B⟹A+B$是正交投影矩阵。
3.3.16 如果矩阵$A$的列向量线性无关，那么向$\mathcal{R}(A)$的正交投影矩阵为$A(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}$。试分析以下化简中可能出现的问题：$A(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}=A{A}^{-1}(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}=I_n{I}_n=I_n.$
1. 证明$(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}=A^{-1}(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$并不一定总成立。
2. 当$A$满足什么条件时，上式一定成立？试分析此时正交投影矩阵等于$I_n$的原因。
1.解：
$A$可能不可逆，甚至$A$可能都不是方阵。
2.解：
$A$是方阵且$A$可逆时一定成立。此时$\mathcal{R}(A)={\mathbb{R}}^n$。
3.3.17-18
略。
3.3.19 一个$n$阶方阵$P$是关于$A$的正交投影矩阵，当且仅当对任意向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，都有$P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(A),\mathbf{x}-P\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).$ 证明：
先证$P$是关于$A$的正交投影矩阵$⟹\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(A),\mathbf{x}-P\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).$ $P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(A)$显然。而$P^{\mathrm{T}}(\mathbf{x}-P\mathbf{x})=P\mathbf{x}-P\mathbf{x}=0⟹(\mathbf{x}-P\mathbf{x})\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).$ 再证$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(A),\mathbf{x}-P\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})⟹P$是关于$A$的正交投影矩阵。
因为$\mathbf{x}-P\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})$且$P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(A)$，于是$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,(\mathbf{x}-P\mathbf{x}{)}^{\mathrm{T}}P\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(P-P^{\mathrm{T}}P)\mathbf{x}=0⟹P=P^{\mathrm{T}}P$。显然$P^{\mathrm{T}}P$是对称矩阵，所以$P$也是对称矩阵。即$P=P^{\mathrm{T}}=P^{\mathrm{T}}P=P^2$。这表明$P$是正交投影矩阵
3.3.20 当$A$分别为对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵或上三角矩阵时，判断$\mathcal{R}(A)$和$\mathcal{N}(A)$是否互为正交补。证明或给出反例.
对称矩阵$A=A^{\mathrm{T}}⟹\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})⟹\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}}{)}^{\perp }=\mathcal{N}(A)=\mathcal{R}(A{)}^{\perp }.$ 反对称矩阵$A=-A^{\mathrm{T}}⟹\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})⟹\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}}{)}^{\perp }=\mathcal{N}(A)=\mathcal{R}(A{)}^{\perp }.$ 正交矩阵$\mathcal{R}(A)={\mathbb{R}}^n,\mathcal{N}(A)=\{0\}$。也互为正交补。
上三角矩阵不一定互为正交补。设$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\in \mathcal{R}(A),\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\in \mathcal{N}(A)$。不正交。
3.3.21 给定${\mathbb{R}}^m$中的子空间${\mathcal{M}}_1,{\mathcal{M}}_2,{\mathbb{R}}^n$中的子空间${\mathcal{N}}_1,{\mathcal{N}}_2.$ 1.是否一定存在矩阵$A$,使得$\mathcal{R}(A)={\mathcal{M}}_1,\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})={\mathcal{M}}_2,\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})={\mathcal{N}}_1,\mathcal{N}(A)={\mathcal{N}}_2$？
2.如果不一定存在，那么当四个子空间满足什么条件时，这样的矩阵才一定存在？
1.
不一定。
2.解：
${\mathcal{M}}_1={\mathcal{M}}_2^{\perp },{\mathcal{N}}_1={\mathcal{N}}_2^{\perp }$且$\dim {\mathcal{M}}_1=\dim {\mathcal{N}}_1.$ 3.3.22 给定向量${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_m$，不难确知其平均值${\mathbf{x}}_m=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\mathbf{b}}_i$。再给出向量${\mathbf{b}}_{m+1}$,这$m+1$个向量的平均值就是${\mathbf{x}}_{m+1}=\frac{1}{m+1}\sum _{i=1}^{m+1}{\mathbf{b}}_i$。则${\mathbf{x}}_{m+1}$可以用${\mathbf{b}}_{m+1},{\mathbf{x}}_m,m$来表示：${\mathbf{x}}_{m+1}={\mathbf{x}}_m+\frac{1}{m+1}({\mathbf{b}}_{m+1}-{\mathbf{x}}_m)$。 若给出向量组成的矩阵$B_n=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_{m+1}& \cdots & {\mathbf{b}}_{m+n}\end{array}\right]$,如何用$B_n,{\mathbf{x}}_m,m,n$来表示${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_{m+n}$这$m+n$个向量的平均值${\mathbf{x}}_{m+n}$？
3.3.23 一个方阵如果仅仅满足$P^2=P$，则称之为斜投影矩阵，其对应的线性变换称为斜投影。给定一个$n$阶斜投影矩阵$P$。
1.证明$I_n-P$也是$n$阶斜投影矩阵。
2.证明$\mathcal{R}(P)=\mathcal{N}(I_n-P),\mathcal{R}(I_n-P)=\mathcal{N}(P).$ 3.对任意向量$\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$,是否一定存在分解$\mathbf{v}={\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$，满足${\mathbf{v}}_1\in \mathcal{R}(P),{\mathbf{v}}_2\in \mathcal{R}(I_n-P)$？分解如果存在，是否唯一？
4.构造一个二阶斜投影矩阵，但不是正交投影矩阵。
1.证明： $$(I_n-P{)}^2=I_n-2P+P^2=I_n-P.$$ 2.证明：
$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(P),$ $$(I_n-P)P\mathbf{x}=P\mathbf{x}-P\mathbf{x}=0⟹\mathcal{R}(P)\subseteq \mathcal{N}(I_n-P)(1)$$ $\forall \mathbf{x}\in \mathcal{N}(I_n-P),$ $$(I_n-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}-P\mathbf{x}=0⟹\mathbf{x}=P\mathbf{x}⟹\mathcal{N}(I_n-P)\subseteq \mathcal{R}(P)(2)$$ 由$(1)(2)$得$\mathcal{R}(P)=\mathcal{N}(I_n-P).$ $\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,(I_n-P)\mathbf{x}\in \mathcal{R}(I_n-P),$ $$P(I_n-P)\mathbf{x}=(P-P)\mathbf{x}=0⟹\mathcal{R}(I_n-P)\subseteq \mathcal{N}(P)(3)$$ $\forall \mathbf{x}\in \mathcal{N}(P),$ $$(I_n-P)\mathbf{x}=\mathbf{x}⟹\mathbf{x}=(I_n-P)\mathbf{x}⟹\mathcal{N}(P)\subseteq \mathcal{R}(I_n-P)(4)$$ 由$(3)(4)$得$\mathcal{R}(I_n-P)=\mathcal{N}(P).$ 3.存在且唯一。
证明：
先证存在性。
$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，显然存在分解$$\mathbf{x}=P\mathbf{x}+\mathbf{x}-P\mathbf{x}$$其中$P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(P),\mathbf{x}-P\mathbf{x}\in \mathcal{R}(I_n-P).$ 再证唯一性。
设$\mathbf{a}\in \mathcal{R}(P)\cap \mathcal{R}(I_n-P)⟹\mathbf{a}\in \mathcal{N}(P)\cap \mathcal{N}(I_n-P)⟹(I_n-P)\mathbf{a}=0⟹\mathbf{a}-P\mathbf{a}=0⟹\mathbf{a}=0$。这表明$\mathcal{R}(P)\cap \mathcal{R}(I_n-P)=\{0\}$。
设$\mathbf{x}$有两个分解$\mathbf{x}={\mathbf{a}}_1+{\mathbf{b}}_1={\mathbf{a}}_2+{\mathbf{b}}_2$。其中${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2\in \mathcal{R}(P),{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\in \mathcal{R}(I_n-P)$。于是$$0=\mathbf{x}-\mathbf{x}={\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_2+{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2⟹{\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_2={\mathbf{b}}_2-{\mathbf{b}}_1$$注意${\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_2\in \mathcal{R}(P),{\mathbf{b}}_2-{\mathbf{b}}_1\in \mathcal{R}(I_n-P)$，所以${\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_2\in \mathcal{R}(P)\cap \mathcal{R}(I_n-P)⟹{\mathbf{a}}_1-{\mathbf{a}}_2=0,{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2=0$。即分解唯一。
4.
$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$ 3.3.24
略。