3.3.1-3

$\\$ 略。$\\$

3.3.4

$\\$ 1. $\mathbb{R}^5$中的两个三维子空间是否可能正交？$\\$ 2. 设$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ &0&1\\ &&0&0\\ &&&0&1\\ &&&&0&1\\ &&&&&0 \end{bmatrix}$，则$\mathcal{R}(A)$和$\mathcal{N}(A)$是否正交？是否互为正交补？$\\$ 1.解：$\\$ 不可能正交。若正交，则说明存在6个线性无关的向量，这与$\mathbb{R}^5$矛盾。$\\$ 2.解：$\\$ $\mathcal{R}(A)=\operatorname{span}(\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_4,\bm{e}_5), \mathcal{N}(A)=\operatorname{span}(\bm{e}_1,\bm{e}_4)$。他们不正交，也不互为正交补。$\\$

3.3.5 $\quad$ 设$6$阶方阵$A$满足$A^3=O$，它的秩最大为多少？举例说明，在$A,A^2$的行空间，零空间和左零空间之中，哪些互相正交？

$\\$ 解：$\\$ 设$\operatorname{rank}(A)=r$，于是$A^3=A \cdot A^2=O \implies \mathcal{R}(A^2) \subseteq \mathcal{N}(A) \implies r \leq n-r \implies r \leq 3.\\$ 举例略。$\\$

3.3.6 $\quad$ 设$\mathbb{R}^n$的子空间$\mathcal{M}=\operatorname{span}(\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_s)$，证明$\mathcal{M}^\perp=\{\bm{b}\in\mathbb{R}^n\mid \bm{b}^\mathrm{T}\bm{a}_i=0,i=1,2,\cdots,s\}.$

$\\$ 证明： $$\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{a}_i=0, i=1,2,\cdots,s \iff \bm{b}\perp\operatorname{span}(\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_s) \iff \bm{b}\in\mathcal{M}^\perp.$$

3.3.7 $\quad$ 对向量组$\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}$,定义$\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}^{\perp}$为与这些向量都正交的向量所构成的子集。

$\\$ 1.证明$\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}^{\perp}$是一个子空间。$\\$ 2.构造矩阵$A$,使得$\mathcal{N}(A)=\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}^\perp.\\$ 3.证明$(\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}^\perp)^\perp=\operatorname{span}(\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k).\\$ 1.$\\$ 显然。$\\$ 2.解：$\\$ $A=\begin{bmatrix} \bm{v}_1^{\mathrm{T}}\\ \bm{v}_2^{\mathrm{T}}\\ \vdots\\ \bm{v}_k^{\mathrm{T}}\\ \end{bmatrix}.\\$ 3.证明：$$(\{\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k\}^\perp)^\perp=\mathcal{N}(A)^{\perp}=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})=\operatorname{span}(\bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots,\bm{v}_k).$$

3.3.8 $\quad$ 集合运算有 De Morgan 定律：对给定集合的两个子集$X,Y,X\cap Y$的补集等于$X$的补集与$Y$的补集的并集；$X\cup Y$的补集等于$X$的补集与$Y$的补集的交集. 子空间是否也有类似的法则呢？设$\mathbb{R}^m$的两个子空间$\mathcal M,\mathcal{N}$,不妨设存在矩阵$A,B$,使得$\mathcal{M}=\mathcal{R}(A),\mathcal{N}=\mathcal{R}(B).$

$\\$ 1. $\mathcal{M}+\mathcal{N}$是哪个矩阵的列空间？因此，$(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp$ 是该矩阵的什么空间？$\\$ 2. $\mathcal{M}^{\perp},\mathcal{N}^{\perp},\mathcal{M}^{\perp}\cap \mathcal{N}^{\perp}$分别是哪个矩阵的零空间？$\\$ 3. 证明 De Morgan 定律的子空间版本：$(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp,(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp.\\$ 1.解：$\\$ 设$P=\begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix}$，则$\mathcal{M}+\mathcal{N}$是$P$的列空间，$(\mathcal{M}+\mathcal{N})^{\perp}$是$P$的左零空间。$\\$ 2.解：$\\$ $\mathcal{M}^{\perp}=\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}),\mathcal{N}^{\perp}=\mathcal{N}(B^{\mathrm{T}}),\mathcal{M}^{\perp}\cap \mathcal{N}^{\perp}=\mathcal{N}(P^{\mathrm{T}}).\\$ 3.证明：$\\$ 先证$(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp.\\$ 设$\bm{x}\in(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp=\mathcal{N}(P^{\mathrm{T}})$，则$P^{\mathrm{T}}\bm{x}=\begin{bmatrix} A^{\mathrm{T}}\bm{x}\\ B^{\mathrm{T}}\bm{x} \end{bmatrix}=\bm{0}\implies \bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})\cap\mathcal{N}(B^{\mathrm{T}})\implies \bm{x}\in\mathcal{M}^{\perp}\cap\mathcal{N}^{\perp}\implies (\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp\subseteq\mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp \quad (1)\\$ 又设$\bm{x}\in\mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp \implies \bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})\cap\mathcal{N}(B^{\mathrm{T}}) \implies P^{\mathrm{T}}\bm{x}=\begin{bmatrix} A^{\mathrm{T}}\bm{x}\\ B^{\mathrm{T}}\bm{x} \end{bmatrix}=\bm{0} \implies \bm{x}\in(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp \implies \mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp\subseteq(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp \quad (2)\\$ 由$(1)(2)$得$(\mathcal{M}+\mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp\cap \mathcal{N}^\perp.\\$ 再证$(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp.\\$ 设$\bm{x}\in(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp, \bm{a}\in\mathcal{M}\cap \mathcal{N}$，于是$\langle \bm{a},\bm{x}\rangle = 0\implies \bm{x}\in\mathcal{M}^\perp$。而$\mathcal{M}^\perp \subseteq \mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp \implies (\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp\subseteq\mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp \quad (3)\\$ 又设$\bm{a}\in\mathcal{M}^\perp,\bm{b}\in\mathcal{N}^\perp,\bm{x}\in\mathcal{M}\cap \mathcal{N}$，则$\bm{a}+\bm{b}\in\mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp \implies \langle \bm{a}+\bm{b},\bm{x}\rangle=\langle \bm{a},\bm{x}\rangle+\langle \bm{b},\bm{x}\rangle=0 \implies \bm{a}+\bm{b}\in(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp \implies \mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp\subseteq(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp\quad (4)\\$ 由$(3)(4)$得$(\mathcal{M}\cap \mathcal{N})^\perp=\mathcal{M}^\perp+\mathcal{N}^\perp.\\$

3.3.9-12

$\\$ 略。$\\$

3.3.13 $\quad$证明命题3.3.12. 给定$\mathbb{R}^n$的子空间$\mathcal{M}$和向量$\bm{a}$，而$\bm{a}_1=\bm{P}_{\mathcal{M}}(\bm{a})$为$\bm{a}$在$\mathcal{M}$上的正交投影，则$\Vert \bm{a}-\bm{a}_1 \Vert = \displaystyle\min_{\bm{x}\in\mathcal{M}}\Vert \bm{a}-\bm{x} \Vert.\\$

证明：$\\$ 向量$\bm{x}-\bm{a}_1,\bm{a}-\bm{a}_1,\bm{a}-\bm{x}$组成了一个直角三角形，其中$\bm{x}-\bm{a}_1,\bm{a}-\bm{a}_1$是直角边。由勾股定理有$\Vert \bm{a}-\bm{a}_1 \Vert \leq \Vert\bm{a}-\bm{x} \Vert$，当且仅当$\bm{x}=\bm{a}_1$时等号成立。$\\$

3.3.14 $\quad$ 说明满足下列条件的矩阵是否存在,如果存在,举例说明:

$\\$ 1.$\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\-3\\5\end{bmatrix}\in\mathcal{R}(A),\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\in\mathcal{N}(A).\\$ 2.$\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\-3\\5\end{bmatrix}\in\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}}),\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\in\mathcal{N}(A).\\$ 3. $A\bm{x}= \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$有解，且$A$的左零空间包含$\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}.\\$ 4. $A$不是零矩阵，且$A$的每一行的转置垂直于$A$的每一列。$\\$ 5. $A$非零，且$\mathcal{R}(A)=\mathcal{N}(A).\\$ 6. $A$的所有列向量的和是零向量，且所有行向量的和是分量均为$1$的向量。$\\$ 7. $A,B$均为非零的正交投影矩阵，且$A+B$仍是正交投影矩阵。$\\$ 8. $A,B$均为正交投影矩阵，但$A+B$并不是正交投影矩阵。$\\$ 9. $A,B,C$均为非零的三阶正交投影矩阵，且$A+B+C=I_3.\\$ 1.存在。 $A=\begin{bmatrix} 1&2&-3\\ 2&-3&1\\ -3&5&-2 \end{bmatrix}.\\$ 2.不存在。$\mathcal{N}(A)^\perp\neq\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})\\$ 3.不存在。设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1^{\mathrm{T}}\\ \bm{a}_2^{\mathrm{T}}\\ \bm{a}_3^{\mathrm{T}}\\ \end{bmatrix}$，$A\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}$有解$\implies \bm{a}_1^{\mathrm{T}}\bm{x}=1$，但$\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}A=\bm{0}\implies \bm{a}_1=\bm{0}$。矛盾。$\\$ 4.存在。只需要$A^2=O$即可。如$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.\\$ 5.存在。只需要$A^2=O$即可。如$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.\\$ 6.不存在。设$\bm{x}=\begin{bmatrix} 1\\\vdots\\1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n,\bm{y}=\begin{bmatrix} 1\\\vdots\\1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m$，$A$是$m\times n$矩阵，则$A\bm{x}=\bm{0},\bm{y}^{\mathrm{T}}A=\bm{x}^{\mathrm{T}} \implies 0=\bm{y}^{\mathrm{T}}\bm{0}=\bm{y}^{\mathrm{T}}A\bm{x}=\bm{x}^{\mathrm{T}}\bm{x}=n$。矛盾。$\\$ 7.存在。$A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$。实际上，$A+B$也是正交投影矩阵当且仅当$AB=BA=O$，也当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。证明见练习3.3.15(8)。$\\$ 8.存在。令$A=B$即可。$\\$ 9.存在。令$A=\begin{bmatrix} \bm{e}_1&\bm{0}&\bm{0} \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} \bm{0}&\bm{e}_2&\bm{0} \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} \bm{0}&\bm{0}&\bm{e}_3 \end{bmatrix}$即可。$\\$

3.3.15 $\quad$ 下列说法中，哪些正确？

$\\$ 1. $A$的所有行的转置与$A^{-1}$的所有行的转置对应正交。$\\$ 2. $A$的所有行的转置与$A^{-1}$的所有列对应正交。$\\$ 3. $A$的所有列与$A^{-1}$的所有行的转置对应正交。$\\$ 4. $A$的所有列与$A^{-1}$的所有列对应正交。$\\$ 5. 如果向量$\bm{v}$与$\bm{w}$正交,则$\bm{v}^\mathrm{T}\bm{x}=0$与$\bm{w}^\mathrm{T}\bm{x}=0$的解集互相正交。$\\$ 6. 如果$A$是正交投影矩阵,则$A$的第$k$列的长度的平方等于$A$的第$k$个对角元素。$\\$ 7. 如果$A,B$是正交投影矩阵,则$AB=BA$当且仅当$AB$也是正交投影矩阵。$\\$ 8. 如果$A,B$是正交投影矩阵，则$A+B$是正交投影矩阵当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。$\\$ 1.不正确。令$A=\begin{bmatrix} 1&2\\1&1 \end{bmatrix},A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}$，显然$\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}$都不正交。$\\$ 2.本题中“对应正交”一词的含义比较模糊。设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1^{\mathrm{T}}\\ \bm{a}_2^{\mathrm{T}}\\ \vdots\\ \bm{a}_n^{\mathrm{T}}\\ \end{bmatrix},A^{-1}=\begin{bmatrix} \bm{b}_1&\bm{b}_2&\cdots&\bm{b}_n \end{bmatrix}$，由$AA^{-1}=I_n$得$\bm{a}_i^{\mathrm{T}}\bm{b}_j=0 \iff i \neq j$。即$A$第$i$行的转置和$A^{-1}$第$j$列$(i \neq j)$正交。$\\$ 3.命题与(2)等价$\\$ 4.不正确。令$A=\begin{bmatrix} 1&2\\1&1 \end{bmatrix},A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}$，显然$\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} -1\\1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}$都不正交。$\\$ 5.不正确。令$\bm{v}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\bm{w}=\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}$，则$\bm{v}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}$和$\bm{w}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}$的解集均包含$\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}.\\$ 6.正确。设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1&\cdots&\bm{a}_m \end{bmatrix}$，则$A=A^{\mathrm{T}}A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1^\mathrm{T}\bm{a}_1&\bm{a}_1^\mathrm{T}\bm{a}_2&\cdots&\bm{a}_1^\mathrm{T}\bm{a}_m\\ \bm{a}_2^\mathrm{T}\bm{a}_1&\bm{a}_2^\mathrm{T}\bm{a}_2&\cdots&\bm{a}_2^\mathrm{T}\bm{a}_m\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \bm{a}_m^\mathrm{T}\bm{a}_1&\bm{a}_m^\mathrm{T}\bm{a}_2&\cdots&\bm{a}_m^\mathrm{T}\bm{a}_m \end{bmatrix}$。显然，第$k$列长度的平方$\bm{a}_k^\mathrm{T}\bm{a}_k$等于$A$的第$k$个对角元。$\\$ 7.正确。$AB=BA \iff (AB)^{\mathrm{T}}=BA=AB,(AB)^2=ABAB=AABB=AB \iff AB$是正交投影矩阵。$\\$ 8.正确。$A+B$也是正交投影矩阵当且仅当$AB=BA=O$，也当且仅当$\mathcal{R}(A),\mathcal{R}(B)$互相正交。$\\$ 证明：$\\$ 先证$A+B$是正交投影矩阵$\implies AB=BA=O.\\$ $A+B$是正交投影矩阵$\implies (A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA=A+B+AB+BA=A+B \implies AB=-BA \quad (1)\\$ $(1)$式右乘$B$得$AB=-BAB$，而$BAB$是对称矩阵，所以$AB$也是对称矩阵。即$AB=(AB)^{\mathrm{T}}=BA \quad (2)\\$ 由(1)(2)立得$AB=BA=O.\\$ 再证$AB=BA=O \implies \mathcal{R}(A)\perp\mathcal{R}(B).\\$ 设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1&\cdots&\bm{a}_n \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} \bm{b}_1&\cdots&\bm{b}_n \end{bmatrix}$，注意$A=A^{\mathrm{T}}$。所以$AB=O\implies \bm{a}_i^{\mathrm{T}}\bm{b}=0 (i,j=1,2,\cdots,n) \implies \mathcal{R}(A)\perp\mathcal{R}(B).\\$ 最后证$\mathcal{R}(A)\perp\mathcal{R}(B) \implies A+B$是正交投影矩阵。$\\$ $\mathcal{R}(A)\perp\mathcal{R}(B)\implies AB=BA=O \implies (A+B)^2=A+B \implies A+B$是正交投影矩阵。$\\$

3.3.16 $\quad$ 如果矩阵$A$的列向量线性无关，那么向$\mathcal{R}(A)$的正交投影矩阵为$A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$。试分析以下化简中可能出现的问题：$A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}=AA^{-1}(A^{\mathrm{T}})^{-1}A^{\mathrm{T}}=I_nI_n=I_n.$

$\\$ 1. 证明$(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}=A^{-1}(A^{\mathrm{T}})^{-1}$并不一定总成立。$\\$ 2. 当$A$满足什么条件时，上式一定成立？试分析此时正交投影矩阵等于$I_n$的原因。$\\$ 1.解：$\\$ $A$可能不可逆，甚至$A$可能都不是方阵。$\\$ 2.解：$\\$ $A$是方阵且$A$可逆时一定成立。此时$\mathcal{R}(A)=\mathbb{R}^n$。$\\$

3.3.17-18

$\\$ 略。$\\$

3.3.19 $\quad$ 一个$n$阶方阵$P$是关于$A$的正交投影矩阵，当且仅当对任意向量$\bm{x}\in\mathbb{R}^n$，都有$P\bm{x}\in\mathcal{R}(A),\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).\\$

证明：$\\$ 先证$P$是关于$A$的正交投影矩阵$\implies \forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n, P\bm{x}\in\mathcal{R}(A),\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).\\$ $P\bm{x}\in\mathcal{R}(A)$显然。而$P^{\mathrm{T}}(\bm{x}-P\bm{x})=P\bm{x}-P\bm{x}=\bm{0} \implies (\bm{x}-P\bm{x})\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).\\$ 再证$\forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n, P\bm{x}\in\mathcal{R}(A),\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})\implies P$是关于$A$的正交投影矩阵。$\\$ 因为$\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})$且$P\bm{x}\in\mathcal{R}(A)$，于是$\forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n, (\bm{x}-P\bm{x})^{\mathrm{T}}P\bm{x}=\bm{x}^{\mathrm{T}}(P-P^{\mathrm{T}}P)\bm{x}=0 \implies P=P^{\mathrm{T}}P$。显然$P^{\mathrm{T}}P$是对称矩阵，所以$P$也是对称矩阵。即$P=P^{\mathrm{T}}=P^{\mathrm{T}}P=P^2$。这表明$P$是正交投影矩阵$\\$ 于是$P$是关于$A$的正交投影矩阵，当且仅当对任意向量$\bm{x}\in\mathbb{R}^n$，都有$P\bm{x}\in\mathcal{R}(A),\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}}).\\$

3.3.20 $\quad$ 当$A$分别为对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵或上三角矩阵时，判断$\mathcal{R}(A)$和$\mathcal{N}(A)$是否互为正交补。证明或给出反例。

$\\$ 对称矩阵$A=A^{\mathrm{T}}\implies\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})\implies\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})^\perp=\mathcal{N}(A)=\mathcal{R}(A)^\perp.\\$ 反对称矩阵$A=-A^{\mathrm{T}}\implies\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})\implies\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})^\perp=\mathcal{N}(A)=\mathcal{R}(A)^\perp.\\$ 正交矩阵$\mathcal{R}(A)=\mathbb{R}^n,\mathcal{N}(A)=\{\bm{0}\}$。也互为正交补。$\\$ 上三角矩阵不一定互为正交补。设$A=\begin{bmatrix} 1&1\\0&0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\in\mathcal{R}(A),\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}\in\mathcal{N}(A)$。不正交。$\\$

3.3.21 $\quad$ 给定$\mathbb{R}^m$中的子空间$\mathcal{M}_1,\mathcal{M}_2,\mathbb{R}^n$中的子空间$\mathcal{N}_1,\mathcal{N}_2.\\$

1.是否一定存在矩阵$A$,使得$\mathcal{R}(A)=\mathcal{M}_1,\mathcal{N}(A^{\mathrm{T}})=\mathcal{M}_2,\mathcal{R}(A^{\mathrm{T}})=\mathcal{N}_1,\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}_2$？$\\$ 2.如果不一定存在，那么当四个子空间满足什么条件时，这样的矩阵才一定存在？$\\$ 1.$\\$ 不一定。$\\$ 2.解：$\\$ $\mathcal{M}_1=\mathcal{M}_2^\perp,\mathcal{N}_1=\mathcal{N}_2^\perp$且$\dim\mathcal{M}_1=\dim\mathcal{N}_1.\\$

3.3.22

$\\$ 略。$\\$

3.3.23 $\quad$ 一个方阵如果仅仅满足$P^2=P$，则称之为斜投影矩阵，其对应的线性变换称为斜投影。给定一个$n$阶斜投影矩阵$P$。

$\\$ 1.证明$I_n-P$也是$n$阶斜投影矩阵。$\\$ 2.证明$\mathcal{R}(P)=\mathcal{N}(I_n-P),\mathcal{R}(I_n-P)=\mathcal{N}(P).\\$ 3.对任意向量$\bm{v}\in\mathbb{R}^n$,是否一定存在分解$\bm{v}=\bm{v}_1+\bm{v}_2$，满足$\bm{v}_1\in\mathcal{R}(P),\bm{v}_2\in\mathcal{R}(I_n-P)$？分解如果存在，是否唯一？$\\$ 4.构造一个二阶斜投影矩阵，但不是正交投影矩阵。$\\$ 1.证明： $$(I_n-P)^2=I_n-2P+P^2=I_n-P.$$ 2.证明：$\\$ $\forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n,P\bm{x}\in\mathcal{R}(P),$ $$(I_n-P)P\bm{x}=P\bm{x}-P\bm{x}=\bm{0}\implies\mathcal{R}(P)\subseteq\mathcal{N}(I_n-P)\quad(1)$$ $\forall \bm{x}\in\mathcal{N}(I_n-P),$ $$(I_n-P)\bm{x}=\bm{x}-P\bm{x}=\bm{0}\implies \bm{x}=P\bm{x}\implies\mathcal{N}(I_n-P)\subseteq\mathcal{R}(P)\quad(2)$$ 由$(1)(2)$得$\mathcal{R}(P)=\mathcal{N}(I_n-P).\\$ $\forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n,(I_n-P)\bm{x}\in\mathcal{R}(I_n-P),$ $$P(I_n-P)\bm{x}=(P-P)\bm{x}=\bm{0} \implies \mathcal{R}(I_n-P)\subseteq\mathcal{N}(P)\quad(3)$$ $\forall \bm{x}\in\mathcal{N}(P),$ $$(I_n-P)\bm{x}=\bm{x}\implies\bm{x}=(I_n-P)\bm{x}\implies\mathcal{N}(P)\subseteq\mathcal{R}(I_n-P)\quad(4)$$ 由$(3)(4)$得$\mathcal{R}(I_n-P)=\mathcal{N}(P).\\$ 3.存在且唯一。$\\$ 证明：$\\$ 先证存在性。$\\$ $\forall \bm{x}\in\mathbb{R}^n$，显然存在分解$$\bm{x}=P\bm{x}+\bm{x}-P\bm{x}$$其中$P\bm{x}\in\mathcal{R}(P),\bm{x}-P\bm{x}\in\mathcal{R}(I_n-P).\\$ 再证唯一性。$\\$ 设$\bm{a}\in\mathcal{R}(P)\cap\mathcal{R}(I_n-P)\implies\bm{a}\in\mathcal{N}(P)\cap\mathcal{N}(I_n-P)\implies(I_n-P)\bm{a}=\bm{0}\implies\bm{a}-P\bm{a}=\bm{0}\implies\bm{a}=\bm{0}$。这表明$\mathcal{R}(P)\cap\mathcal{R}(I_n-P)=\{\bm{0}\}$。$\\$ 设$\bm{x}$有两个分解$\bm{x}=\bm{a}_1+\bm{b}_1=\bm{a}_2+\bm{b}_2$。其中$\bm{a}_1,\bm{a}_2\in\mathcal{R}(P),\bm{b}_1,\bm{b}_2\in\mathcal{R}(I_n-P)$。于是$$\bm{0}=\bm{x}-\bm{x}=\bm{a}_1-\bm{a}_2+\bm{b}_1-\bm{b}_2\implies\bm{a}_1-\bm{a}_2=\bm{b}_2-\bm{b}_1$$注意$\bm{a}_1-\bm{a}_2\in\mathcal{R}(P),\bm{b}_2-\bm{b}_1\in\mathcal{R}(I_n-P)$，所以$\bm{a}_1-\bm{a}_2\in\mathcal{R}(P)\cap\mathcal{R}(I_n-P)\implies\bm{a}_1-\bm{a}_2=\bm{0},\bm{b}_1-\bm{b}_2=\bm{0}$。即分解唯一。$\\$ 4.$\\$ $P=\begin{bmatrix} 1&1\\0&0 \end{bmatrix}.\\$

3.3.24

$\\$ 略。$\\$