3.1 基本概念

3.1.1-2
略。
3.1.3求证：
1.在${\mathbb{R}}^n$中的非零向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$夹角为$0$，当且仅当存在$k>0$,使得$\mathbf{a}=k\mathbf{b}.$ 2.在${\mathbb{R}}^n$中的两向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$正交，当且仅当对任意实数$t$,有$\Vert \mathbf{a}+t\mathbf{b}\Vert ⩾\Vert \mathbf{a}\Vert .$ 3.在${\mathbb{R}}^n$中的非零向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$正交，当且仅当$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert =\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}\Vert .$ 1.证明：
$\mathbf{a}=k\mathbf{b},k>0⟺$向量夹角为$\arccos \frac{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }=\arccos 1=0.$ 2.证明：
$\mathbf{a},\mathbf{b}$正交$⟺\Vert \mathbf{a}+t\mathbf{b}\Vert =\sqrt{(\mathbf{a}+t\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+t\mathbf{b})}=\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+t^2{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}}⩾\Vert \mathbf{a}\Vert$。当且仅当$\mathbf{b}=0$或$t=0$时取等号。
3.证明：
$\mathbf{a},\mathbf{b}$正交$⟺{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}=0⟺\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert =\sqrt{(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+\mathbf{b})}=\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}}=\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}-\mathbf{b})}=\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}\Vert .$ 3.1.4 证明推论3.1.5. (三角不等式) $\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert \le \Vert \mathbf{a}\Vert +\Vert \mathbf{b}\Vert .$
证明：
$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert & =\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}+2{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}}\\ & \le \sqrt{\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }\\ & =\sqrt{(\Vert \mathbf{a}\Vert +\Vert \mathbf{b}\Vert {)}^2}\\ & =\Vert \mathbf{a}\Vert +\Vert \mathbf{b}\Vert .\end{array}$$ 3.1.5 (Cauchy- Schwarz不等式的其他证明)
1.先证明$\mathbf{a},\mathbf{b}$都是单位向量的情形:$|{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}|⩽1$,且等号成立当且仅当$\mathbf{a}=\pm \mathbf{b}.$再将单位向量的情形推广到一般的情形。
2.根据内积的正定性，对任意实数$t$，都有$(\mathbf{a}+t\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+t\mathbf{b})={\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+2t{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}+t^2{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}⩾0$。利用判别式证明结论。
1.证明：
设$\mathbf{a},\mathbf{b}$均为单位向量， $$\begin{array}{rl}|{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}|& =|a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n|\\ & \le |\frac{1}{2}(a_1^2+b_1^2)+\cdots +\frac{1}{2}(a_n^2+b_n^2)|\\ & =1\end{array}$$ 等号成立当且仅当$\mathbf{a},\mathbf{b}$共线。
由内积的双线性，对任意向量$\mathbf{x},\mathbf{y}$，设其长度分别为$k,l$，都有$|{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}|=|k{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}l\mathbf{b}|\le |kl|=\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert .$ 2.证明：
$\forall t\in \mathbb{R},(\mathbf{a}+t\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+t\mathbf{b})={\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+t^2{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}+2t{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}\ge 0$。设上式是关于$t$的二次函数$f(t)={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{t}^2+2{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}t+{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}$，显然$f(t)\ge 0$恒成立。利用二次方程根的判别式得$(2{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{)}^2-4{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}\le 0⟹({\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{)}^2\le \Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2⟹|{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}|\le \Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert .$ 3.1.6-9
略。
3.1.10
1.找到${\mathbb{R}}^2$中的三个向量，使它们之间两两内积为负。
2.找到${\mathbb{R}}^3$中的四个向量，使它们之间两两内积为负。
3.${\mathbb{R}}^n$中最多有多少个向量，使它们之间两两内积为负？
1.解：
$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\end{array}\right].$ 2.解：
$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$ 3.
${\mathbb{R}}^n$中最多有$n+1$个向量满足两两之间内积为负。
证明：
先证存在性，即${\mathbb{R}}^n$中一定存在两两之间内积为负的$n+1$个向量。
用数学归纳法，按照空间维数$n$归纳。当$n=1,2,3$时显然成立。现假设$n=k-1$时命题成立，考虑$n=k$的情况。
由归纳假设，存在${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_k\in {\mathbb{R}}^{k-1}$满足两两之间内积为负。不妨任取一个很小的正实数$ϵ$，满足$0<ϵ<\underset{i\ne j}{\min }|⟨{\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j⟩|$，即对任意$i\ne j$都有$⟨{\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j⟩+ϵ<0.$ 对所有$1\le i\le k$构造${\mathbf{y}}_i=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_i\\ -\sqrt{ϵ}\end{array}\right]$，显然${\mathbf{y}}_i\in {\mathbb{R}}^k$，又设${\mathbf{y}}_{k+1}=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^k$。注意到$\forall 1\le i,j\le k$，都有$⟨{\mathbf{y}}_i,{\mathbf{y}}_{k+1}⟩<0$，且对任意$i\ne j$都有$⟨{\mathbf{y}}_i,{\mathbf{y}}_j⟩=⟨{\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j⟩+ϵ<0.$ 即当$n=k$时，有$k+1$个向量满足两两之间内积为负。这说明若$n=k-1$时命题成立，则$n=k$时也成立。于是对任意$n\ge 1$，${\mathbb{R}}^n$中一定存在两两之间内积为负的$n+1$个向量。
接下来证明。${\mathbb{R}}^n$中不存在$n+2$个两两之间内积为负的向量。
用反证法。假设存在${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_{n+2}\in {\mathbb{R}}^n$满足两两之间内积为负。考虑前$n+1$个向量${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_{n+1}$，显然他们必线性相关，即存在不全为零的一组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$，使${\alpha }_1{\mathbf{x}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +{\alpha }_{n+1}{\mathbf{x}}_{n+1}=0$。
设上式中有$M$项系数为正，且他们的下标组成的集合为$\mathcal{M}=\{i_1,i_2,\cdots ,i_m\}$，即${\alpha }_i>0,i\in \mathcal{M}$。$N$项系数为负，且他们的下标组成的集合为$\mathcal{N}=\{j_1,j_2,\cdots ,j_n\}$，即${\alpha }_j<0,j\in \mathcal{N}$。于是$$\sum _{i\in \mathcal{M}}^M{\alpha }_i{\mathbf{x}}_i+\sum _{j\in \mathcal{N}}^N{\alpha }_j{\mathbf{x}}_j=0⟹\sum _{i\in \mathcal{M}}^M{\alpha }_i{\mathbf{x}}_i=\sum _{j\in \mathcal{N}}^N-{\alpha }_j{\mathbf{x}}_j$$ 分两种情况讨论：
(a) 若$M,N$均不为$0$，设$\mathbf{y}=\sum _{i\in \mathcal{M}}^M{\alpha }_i{\mathbf{x}}_i$，由内积正定性和双线性，有 $$\begin{array}{rl}0& \le ⟨\mathbf{y},\mathbf{y}⟩\\ & =⟨\sum _{i\in \mathcal{M}}^M{\alpha }_i{\mathbf{x}}_i,\sum _{j\in \mathcal{N}}^N-{\alpha }_j{\mathbf{x}}_j⟩\\ & =\sum _{i,j}^{M\cdot N}-{\alpha }_i{\alpha }_j⟨{\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j⟩\\ & <0\end{array}$$ 矛盾。
(b) 若$M,N$中有一个为$0$，不妨设$M=0$（$N=0$同理）。此时$\sum _{j\in \mathcal{N}}^N{\alpha }_j{\mathbf{x}}_j=0$，于是 $$\begin{array}{rl}0& =⟨{\mathbf{x}}_{n+2},0⟩\\ & =⟨{\mathbf{x}}_{n+2},\sum _{j\in \mathcal{N}}^N{\alpha }_j{\mathbf{x}}_j⟩\\ & =\sum _{j\in \mathcal{N}}^N{\alpha }_j⟨{\mathbf{x}}_{n+2},{\mathbf{x}}_j⟩\\ & >0\end{array}$$ 也矛盾。
所以${\mathbb{R}}^n$中不存在$n+2$个两两之间内积为负的向量。由此可得，${\mathbb{R}}^n$中最多有$n+1$个向量满足两两之间内积为负。
3.1.11
略。
3.1.12 设${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$是${\mathbb{R}}^n$的一组标准正交基,证明：
1.如果${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i=0(i=1,2,\cdots ,n)$,则$\mathbf{b}=0.$
2.如果${\mathbf{b}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i={\mathbf{b}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i(i=1,2,\cdots ,n)$，则${\mathbf{b}}_1={\mathbf{b}}_2.$ 1.证明：
存在${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，使$\mathbf{b}={\alpha }_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\mathbf{a}}_n$。所以${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}({\alpha }_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\mathbf{a}}_n)=0⟹\mathbf{b}=0.$ 2.证明：
$\forall 1\le i\le n,{\mathbf{b}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i={\mathbf{b}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i⟹({\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_i=0⟹{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2=0⟹{\mathbf{b}}_1={\mathbf{b}}_2.$ 3.1.13-16
略。
3.1.17 证明命题 3.1.13 设$\mathcal{M},\mathcal{N}$是${\mathbb{R}}^n$的两个子空间，如果$\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}$，则$\mathcal{M}$的任意一组标准正交基都可以扩充成$\mathcal{N}$的一组标准正交基。
证明：
设${\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m$是$\mathcal{M}$的一组标准正交基。若$\mathrm{span}({\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m)=\mathcal{N}$，则${\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m$也是$\mathcal{N}$的一组标准正交基。若不然，则$\mathcal{N}$中必然存在${\mathbf{a}}_{m+1}$与${\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m$线性无关。利用Gram-Schmidt正交化可将${\mathbf{a}}_{m+1}$转化为与${\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m$互相正交的向量${\mathbf{q}}_{m+1}$。若$\mathrm{span}({\mathbf{q}}_1,\cdots ,{\mathbf{q}}_m,{\mathbf{q}}_{m+1})=\mathcal{N}$，证毕。否则，以此类推。因为$\mathcal{N}$中标准正交基数量不大于$n$，所以有限步之后一定能得到$\mathcal{N}$的一组标准正交基。
3.1.18 (勾股定理的高维推广)
1.向量$\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$围出一个三角形，证明其面积的平方为$\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-({\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{)}^2).$ 2.两两垂直的向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in {\mathbb{R}}^n$ 围出一个四面体，证明其斜面上三角形面积的平方等于其余三个直角三角形面积的平方和。
1.证明：
显然围成的三角形的三边长分别为$\Vert \mathbf{a}\Vert ,\Vert \mathbf{b}\Vert ,\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}\Vert$。由海伦-秦九韶公式， $$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{16}(4\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2{)}^2)\\ & =\frac{1}{16}(4\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-(2{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{)}^2)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-({\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}{)}^2)\end{array}$$ 2.证明：
斜面上三角形的三边长分别为$\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}\Vert ,\Vert \mathbf{a}-\mathbf{c}\Vert ,\Vert \mathbf{b}-\mathbf{c}\Vert$。由海伦-秦九韶公式，注意$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$两两垂直 $$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{16}(4\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2\Vert \mathbf{a}-\mathbf{c}{\Vert }^2-(\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{c}{\Vert }^2-\Vert \mathbf{b}-\mathbf{c}{\Vert }^2{)}^2)\\ & =\frac{1}{16}(4(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2)-4\Vert \mathbf{a}{\Vert }^4)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2)\end{array}$$ 这显然就是三个直角三角形面积的平方和。
3.1.19 取定非零向量$\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^n$,考虑${\mathbb{R}}^n$上的一个变换，它将每个向量$\mathbf{b}$映射到其向直线$\mathrm{span}(\mathbf{a})$正交投影后平行于$\mathbf{a}$ 的部分。
1. 证明这是一个线性变换，其表示矩阵为$A=\frac{\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}.$ 2. 证明$A^2=A,A^{\mathrm{T}}=A.$ 略。
3.1.20 (内积决定转置) 求证：设$m\times n$矩阵$A$和$n\times m$矩阵$B$，如果对任意$\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^m,\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$都有$(B\mathbf{v}{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}={\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}(A\mathbf{w})$。则$B=A^{\mathrm{T}}.$
证明：
$(B\mathbf{v}{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}={\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}(A\mathbf{w})⟹{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}={\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{w}⟹{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}(B^{\mathrm{T}}-A)\mathbf{w}=0.$ 上式对任意$\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^m$均成立，于是$(B^{\mathrm{T}}-A)\mathbf{w}=0$。而这对任意$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$均成立，于是$\mathcal{N}(B^{\mathrm{T}}-A)={\mathbb{R}}^n⟹B^{\mathrm{T}}-A=O⟹B=A^{\mathrm{T}}.$ 3.1.21 (Riesz表示定理) 设$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$是线性映射。证明，存在向量$\mathbf{b}$，使得对任意$\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^n$，都有$f(\mathbf{a})={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}.$
证明：
设$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$，则$\mathbf{a}=a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{e}}_n$，其中${\mathbf{e}}_i$是${\mathbb{R}}^n$上的标准基。
由线性映射的性质，$$f(\mathbf{a})=f(a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{e}}_n)=a_{1}f({\mathbf{e}}_1)+a_{2}f({\mathbf{e}}_2)+\cdots +a_{n}f({\mathbf{e}}_n)$$ 只需设$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}f({\mathbf{e}}_1)\\ ⋮\\ f({\mathbf{e}}_n)\end{array}\right]$即得$f(\mathbf{a})={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}.$ 3.1.22
1.(平行四边形法则)证明${\mathbb{R}}^n$中任意平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于其四条边长的平方和。
2.(极化公式) 证明${\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}=\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }^2).$ 3.设$\Vert \mathbf{a}{\Vert }_4=(\sum _{i=1}^n{a}_i^4{)}^{\frac{1}{4}}$，定义关于$\mathbf{v},\mathbf{w}$的二元函数$\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_4^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }_4^2)$。这个二元函数是否满足内积定义中的对称、双线性、正定三条性质?
4.设$\Vert \mathbf{a}{\Vert }_{\infty }=\underset{1⩽i⩽n}{\max }|a_i|$，定义关于$\mathbf{v},\mathbf{w}$的二元函数$\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2)$。这个二元函数是否满足内积定义中的对称、双线性、正定三条性质?此时,三角不等式和Cauchy-Schwarz不等式是否仍然成立？
1.证明：
$$\begin{array}{rl}& \Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2\\ & =(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+\mathbf{b})+(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\\ & =2{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+2{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}\\ & =2\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2\end{array}$$ 2.证明：
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{4}(\mathbf{v}+\mathbf{w}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{v}-\mathbf{w}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{v}+\mathbf{w})\\ & ={\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{w}\end{array}$$ 3.证明：
对称性和正定性显然满足。但双线性不满足。设$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],f(\mathbf{v},\mathbf{w})=\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_4^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }_4^2)$，则$f(\mathbf{v},\mathbf{w})=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，而$f(\mathbf{v},2\mathbf{w})=\frac{\sqrt{82}-\sqrt{2}}{4}\ne 2f(\mathbf{v},\mathbf{w}).$ 4.证明：
对称性和正定性显然满足。但双线性不满足。同样设$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],f(\mathbf{v},\mathbf{w})=\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2)$，则$f(\mathbf{v},\mathbf{w})=\frac{3}{4}$，而$f(\mathbf{v},2\mathbf{w})=2\ne 2f(\mathbf{v},\mathbf{w}).$ 三角不等式仍然成立。
设$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$，对任意$1\le i\le n$， $$|a_i+b_i|\le |a_i|+|b_i|\le \underset{1\le i\le n}{\max }|a_i|+\underset{1\le i\le n}{\max }|b_i|=\Vert \mathbf{a}{\Vert }_{\infty }+\Vert \mathbf{b}{\Vert }_{\infty }$$ 而$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|a_i+b_i|$，于是$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }_{\infty }\le \Vert \mathbf{a}{\Vert }_{\infty }+\Vert \mathbf{b}{\Vert }_{\infty }.$ Cauchy-Schwarz不等式也成立。
设$\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|v_i+w_i|=|v_m+w_m|$，则 $$\begin{array}{rl}\frac{1}{4}(\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2-\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}{\Vert }_{\infty }^2)& \le \frac{1}{4}((v_m+w_m{)}^2-(v_m-w_m{)}^2)\\ & =v_m{w}_m\\ & \le (\underset{1\le i\le n}{\max }|v_i|)\cdot (\underset{1\le i\le n}{\max }|w_i|)\\ & =\Vert \mathbf{v}{\Vert }_{\infty }\Vert \mathbf{w}{\Vert }_{\infty }\end{array}$$