2.4 线性方程组的解集

2.4.1-10
略。
2.4.11 在平面直角坐标系下给定点$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)$，证明，$A,B,C$三点不共线当且仅当矩阵$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& 1\\ b_1& b_2& 1\\ c_1& c_2& 1\end{array}\right]$可逆。
2.4.12 设${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t$是线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解，其中$\mathbf{b}\ne 0$，证明，$c_0{\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{x}}_t$也是解当且仅当$c_0+c_1+\cdots +c_t=1.$
证明：
由$A(c_0{\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{x}}_t)=(c_0+c_1+\cdots +c_t)\mathbf{b}$立得。
2.4.13 设${\mathbf{x}}_0$是线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个解，其中$\mathbf{b}\ne 0$，而${\mathbf{k}}_1,{\mathbf{k}}_2,\cdots ,{\mathbf{k}}_t$是$\mathcal{N}(A)$的一组基。令${\mathbf{x}}_i={\mathbf{x}}_0+{\mathbf{k}}_i,i=1,2,\cdots ,t$，证明，线性方程组的任意解都可以唯一地表示成$c_0{\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{x}}_t$，其中$c_0+c_1+\cdots +c_t=1.$
证明：
先证存在性。任意$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解都可以表示成 $$\begin{array}{rl}\mathbf{x}& ={\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{k}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{k}}_t\\ & ={\mathbf{x}}_0+c_1({\mathbf{x}}_0+{\mathbf{k}}_1)+\cdots +c_t({\mathbf{x}}_0+{\mathbf{k}}_t)-(c_1+\cdots +c_t){\mathbf{x}}_0\\ & =(1-c_1-\cdots -c_t){\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{x}}_t\end{array}$$ 令$c_0=1-c_1-\cdots -c_t$即得$\mathbf{x}=c_0{\mathbf{x}}_0+c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_t{\mathbf{x}}_t$。其中$c_0+c_1+\cdots +c_t=1.$ 再证唯一性：在给定$\mathcal{N}(A)$一组基的情况下，$\mathcal{N}(A)$中任意向量的表示法是唯一的，即$c_1,\cdots ,c_t$唯一，而$c_0$由$c_1,\cdots ,c_t$导出，自然也是唯一的。
2.4.14 对任意${\mathbb{R}}^n$中线性无关的向量组${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t$，证明，存在满足如下条件的非齐次线性方程组：
1. ${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t$都是此方程组的解；
2. 该方程组的任意解都能被${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t$线性表示。
1. 证明：
设${\mathbf{k}}_i={\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_0$。显然${\mathbf{k}}_1,{\mathbf{k}}_2,\cdots ,{\mathbf{k}}_t$线性无关。问题转化为找到矩阵$A$使得$\mathcal{N}(A)$的一组基是${\mathbf{k}}_1,{\mathbf{k}}_2,\cdots ,{\mathbf{k}}_t$。令$K=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{k}}_1& {\mathbf{k}}_2& \cdots & {\mathbf{k}}_t\end{array}\right]$，$AK=O⟹K^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=O$。于是只需要得到$\mathcal{N}(K^{\mathrm{T}})$的一组基${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{n-t}$组成$A$的行向量即可。此时非齐次线性方程组$A\mathbf{x}=A{\mathbf{x}}_0$满足${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t$都是此方程组的解。
2. 证明：
由2.4.13中结论立得。
2.4.15 给定线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，和分块矩阵$B=\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]$。证明，如果$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$，则方程组有解。
证明：
命题等价于其逆否定理：若$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$无解，则$\mathrm{rank}(A)\ne \mathrm{rank}(B).$ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$无解$⟹\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right])=\mathrm{rank}(A)+1⟹\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right])\ge \mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right])=\mathrm{rank}(A)+1$。于是命题成立。
2.4.16 (Fredholm二择一定理) 线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解当且仅当$\left[\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$无解。
证明：
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解$⟺\mathbf{b}\in \mathcal{R}(A)⟺\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{T}}& 0\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}& 1\end{array}\right])=\mathrm{rank}(A)+1>\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right])⟺\left[\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$无解。
2.4.17 如果$10$阶方阵$A$满足$A^2=O$，证明$\mathrm{rank}(A)\le 5$。是否存在$A^2=O,\mathrm{rank}(A)=5$的$10$阶方阵$A$？
证明：
$A^2=O⟹\mathcal{R}(A)\subseteq \mathcal{N}(A)⟹\mathrm{rank}(A)\le 10-\mathrm{rank}(A)⟹\mathrm{rank}(A)\le 5.$ 存在。$A=\left[\begin{array}{cc}O& I_5\\ O& O\end{array}\right].$ 2.4.18 设$A,B$分别为$m\times n,n\times k$矩阵。证明，$\mathrm{rank}(AB)\ge \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n.$
证明：
法一：
由Frobenius不等式(见练习2.3.11)，$\mathrm{rank}(A{I}_{n}B)+\mathrm{rank}(I_n)\ge \mathrm{rank}(A{I}_n)+\mathrm{rank}(I_{n}B)$立得。
法二：
设$E=\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$是$A$的相抵标准型。则 $$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(E)+\mathrm{rank}(B)& =\mathrm{rank}(E)+\mathrm{rank}(EB+(I-E)B)\\ & \le \mathrm{rank}(E)+\mathrm{rank}(EB)+\mathrm{rank}((I-E)B)\\ & \le \mathrm{rank}(E)+\mathrm{rank}(EB)+\mathrm{rank}(I-E)\\ & =r+\mathrm{rank}(EB)+n-r\\ & =\mathrm{rank}(EB)+n\end{array}$$ 设$A=PEQ$，其中$P,Q$是可逆矩阵。利用初等行列变换不改变秩。 $$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)& =\mathrm{rank}(E)+\mathrm{rank}(QB)\\ & \le \mathrm{rank}(EQB)+n\\ & =\mathrm{rank}(PEQB)+n\\ & =\mathrm{rank}(AB)+n\end{array}$$ 即$\mathrm{rank}(AB)\ge \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n.$ 法三：
显然$AB\mathbf{x}=0$当且仅当$\mathbf{x}\in \mathcal{N}(B)$或$B\mathbf{x}\in \mathcal{N}(A)$。即$\mathcal{N}(AB)=\mathcal{N}(B)\cup (\mathcal{R}(B)\cap \mathcal{N}(A))⟹\dim \mathcal{N}(AB)\le \dim \mathcal{N}(A)+\dim \mathcal{N}(B)⟹\mathrm{rank}(AB)\ge \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n.$ 2.4.19 对$n$阶方阵$A$，求证：
1. $A^2=A$当且仅当$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n.$ 2. $A^2=I_n$当且仅当$\mathrm{rank}(I_n+A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n.$ 1.证明：
利用$\mathcal{N}(A)=\mathcal{R}(I_n-A)$立得。
2.证明：
利用$\mathcal{N}(I_n+A)=\mathcal{R}(I_n-A)$立得。
2.4.20 证明或否定：如果对任意$\mathbf{b}$，线性方程组$A_1\mathbf{x}=\mathbf{b}$和$A_2\mathbf{x}=\mathbf{b}$总有相同的解集，则$A_1=A_2.$
证明：
只证其逆否命题：若$A_1\ne A_2$，则存在$\mathbf{b}$满足$A_1\mathbf{x}=\mathbf{b}$与$A_2\mathbf{x}=\mathbf{b}$解集不同。
因为$A_1\ne A_2$，则存在正整数$i$使$A_1$的第$i$列和$A_2$的第$i$列不相等。设$A_1$的第$i$列是$\mathbf{a}$，$A{\mathbf{e}}_i=\mathbf{a}$，即$A_1\mathbf{x}=\mathbf{a}$的一个解是${\mathbf{e}}_i$，但$A_2{\mathbf{e}}_i\ne \mathbf{a}$。于是解集不同，命题得证。
2.4.21 证明${\mathbb{R}}^n$的任意子空间一定是某个矩阵的零空间。
证明：
设子空间的一组基为${\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_s,X=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{x}}_1& \cdots & {\mathbf{x}}_s\end{array}\right]$。于是$AX=O⟹X^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=O⟹$只需要找到$\mathcal{N}(X^{\mathrm{T}})$的一组基作为行向量组成$A$即可。
2.4.22 给定$l\times n$矩阵$A$和$n\times m$矩阵$B$，证明，$\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(B)$当且仅当存在$m\times l$矩阵$C$，使得$B=CA.$
略。
2.4.23 给定$m\times n$矩阵$A,B$，证明$\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(B)$当且仅当存在$m$阶可逆矩阵$T$，使得$B=TA.$
略。
2.4.24 给定$n$阶方阵$A.$
1. 对任意$k$，证明$\mathcal{R}(A^k)\supseteq \mathcal{R}(A^{k+1});$ 2. 假设$\mathcal{R}(A^k)=\mathcal{R}(A^{k+1})$，求证$\mathcal{R}(A^{k+1})=\mathcal{R}(A^{k+2});$ 3. 求证：存在$k\le n$，满足$\mathrm{rank}(A^k)=\mathrm{rank}(A^{k+1})=\cdots$。由此证明，如果存在$p$使得$A^p=O$，则$A^n=O.$ 1. 证明：
设$A=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$，则$A^{k+1}=\left[\begin{array}{ccc}{A}^k{\mathbf{a}}_1& \cdots & A^k{\mathbf{a}}_n\end{array}\right]⟹\mathcal{R}(A^{k+1})\subseteq \mathcal{R}(A^k).$ 2. 证明：
设$\mathbf{a}\in \mathcal{R}(A^{k+1})$，则$\mathbf{a}=A^{k+1}\mathbf{x}=A\cdot A^k\mathbf{x}$。又因为$\mathcal{R}(A^k)=\mathcal{R}(A^{k+1})$，所以存在$\mathbf{y}$使$A^k\mathbf{x}=A^{k+1}\mathbf{y}$，于是$\mathbf{a}=A\cdot A^k\mathbf{x}=A\cdot A^{k+1}\mathbf{y}=A^{k+2}\mathbf{y}⟹\mathbf{a}\in \mathcal{R}(A^{k+2})⟹\mathcal{R}(A^{k+1})\subseteq \mathcal{R}(A^{k+2}).$ 而$\mathcal{R}(A^{k+1})\supseteq \mathcal{R}(A^{k+2})$显然成立，所以$\mathcal{R}(A^{k+1})=\mathcal{R}(A^{k+2}).$ 3. 证明：
由上面讨论可知，一定存在$k$使$\mathrm{rank}(A^k)=\mathrm{rank}(A^{k+1})=\cdots$。分两种情况讨论。
(a) 若$A$可逆。利用可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵，$\mathrm{rank}(A)=\cdots =\mathrm{rank}(A^n)⟹k\le n$显然成立。
(b) 若$A$不可逆。假设$k>n$，则$n>\mathrm{rank}(A)>\cdots >\mathrm{rank}(A^k)\ge 0$。但最多只能存在$n$个小于$n$的非负整数，这与$k>n$矛盾。所以$k\le n.$ 2.4.25-26
略。