2.3 矩阵的秩

2.3.1-3
略。
2.3.4 设矩阵$A$的行简化阶梯形矩阵为$R$，求下列$B$的行简化阶梯形矩阵。
1. $B=\left[\begin{array}{cc}A& A\end{array}\right],$ 2. $B=\left[\begin{array}{cc}A& AC\end{array}\right],$3. $B=\left[\begin{array}{c}A\\ A\end{array}\right],$ 4. $B=\left[\begin{array}{c}A\\ CA\end{array}\right],$ 5. $B=\left[\begin{array}{cc}A& A\\ O& A\end{array}\right],$ 6. $B=PA$，其中$P$是可逆矩阵。
7. $A$有LU分解$A=LU$，这里$L$为单位下三角阵，令$B=U.$ 2.3.5-7
略。
2.3.8 证明，$\mathrm{rank}(kA)=\mathrm{rank}(A)(k\ne 0)$，$\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$
证明：
由矩阵的秩在初等行变换后不变立得$\mathrm{rank}(kA)=\mathrm{rank}(A)(k\ne 0).$ $\mathcal{R}(A+B)\subseteq \mathcal{R}(A)+\mathcal{R}(B)⟹\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$ 2.3.9 证明：$\max \{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}\le \mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$
证明：
$\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])\ge \mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])\ge \mathrm{rank}(B)⟹\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])\ge \max \{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}$。设$A,B$的一组基分别是${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_s$和${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_t$，则$\mathcal{R}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])=\mathrm{span}({\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_s,{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_t)⟹\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right])\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$等号成立当且仅当$A,B$的基线性无关。
2.3.10
1. 对分块对角矩阵$C=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]$，证明：$\mathrm{rank}(C)=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$ 2. 对分块对角矩阵$C=\left[\begin{array}{cc}A& X\\ O& B\end{array}\right]$，证明：$\mathrm{rank}(C)\ge \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$。由此证明，当$A,B$可逆时，$C$也可逆。
1. 证明：
$\left[\begin{array}{c}A\\ O\end{array}\right]$的一组基和$\left[\begin{array}{c}O\\ B\end{array}\right]$的一组基一定线性无关。由2.3.9中结论立得$\mathrm{rank}(C)=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$ 2. 证明：
设$A,B$的一组基分别是${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_s$和${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_t$，则$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1\\ 0\end{array}\right],\cdots ,\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_s\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1\\ {\mathbf{b}}_1\end{array}\right],\cdots ,\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_t\\ {\mathbf{b}}_t\end{array}\right]\in \mathcal{R}(C)$且线性无关，于是$\mathrm{rank}(C)\ge \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$ 2.3.11 设$A,B,C$分别为$m\times n,n\times k,k\times s$阶矩阵，证明：$$\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}(ABC)+\mathrm{rank}(B).$$ 证明：
此即著名的Frobenius不等式。利用初等行列变换不改变秩及2.3.10中结论有 $$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(ABC)+\mathrm{rank}(B)& =\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}ABC& \\ & B\end{array}\right])\\ & =\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}ABC& AB\\ & B\end{array}\right])\\ & =\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}O& AB\\ -BC& B\end{array}\right])\\ & =\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}-BC& B\\ O& AB\end{array}\right])\\ & \ge \mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\end{array}$$ 2.3.12 设$m\times n$矩阵$A$的秩为$1$，证明，存在非零向量$\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^m,\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^n$，使得$A=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}.$
证明：
设$\mathcal{R}(A)$的一个基是$\mathbf{a}$，一定存在不全为零的一组$k_1,k_2,\cdots ,k_n$满足$A=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1\mathbf{a}& \cdots & k_n\mathbf{a}\end{array}\right]$。令$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$即得$A=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}.$ 2.3.13 试分析矩阵$A$满足什么条件时，$AB=BC$可以推出$B=C.$
解：
$AB=AC⟹AB-AC=O⟹A(B-C)=O$，于是若$A$列满秩，则$B=C.$ 2.3.14 设$m\times n$矩阵$A$列满秩，求证：存在行满秩的$n\times m$矩阵$B$，使得$BA=I_n.$
证明：
对列满秩矩阵$A$，利用初等行变换可将矩阵化为$\left[\begin{array}{c}{I}_n\\ O\end{array}\right]$，即存在可逆矩阵$P$使得$PA=\left[\begin{array}{c}{I}_n\\ O\end{array}\right]$。令$Q=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& O\end{array}\right]$，则$QPA=I_n$。再令$QP=B$，显然$B$是$P$的前$n$行，是$n\times m$列满秩矩阵。
2.3.15
略。
2.3.16 设$A,B$是$n$阶方阵，利用不等式$\mathrm{rank}(AB)\le \min \{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}$，证明：
1. 如果$AB=I_n$，则$A,B$都可逆，且$BA=I_n$。
2. 如果$AB$可逆，则$A,B$都可逆。
1. 证明：
$n=\mathrm{rank}(AB)\le \min \{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}⟹\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)=n$。即$A,B$都可逆。由可逆矩阵的性质可知$AB=BA=I_n.$ 2.
证明同1，略。
2.3.17
略。
2.3.18 证明，当$A$行满秩时，仅用初等行变换就可以把它化为相抵标准型；当$A$列满秩时，仅用初等行变换就可以把它化为相抵标准型。
由行约化阶梯型立得，略。
2.3.19 对二阶方阵$A$，如果存在$n>2$，使得$A^n=O$，求证：$A^2=O.$
证明：
由于可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以$A$一定不可逆，$\mathrm{rank}(A)\le 1$。根据$A$的秩分类讨论。
(a) 若$\mathrm{rank}(A)=0$，此时$A^2=O$显然成立。
(b) 若$\mathrm{rank}(A)=1$，此时$A=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne 0)$，所以$A^n=O⟹\mathbf{a}({\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}{)}^{n-1}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}=O⟹{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}=0⟹\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}=A^2=O.$ 2.3.20 多项式$f(x)$满足$f(0)=0$，求证：对于任意方阵$A$，都有$\mathrm{rank}(f(A))\le \mathrm{rank}(A).$
证明：
$f(0)=0⟹f(x)=xg(x)⟹\mathrm{rank}(f(A))=\mathrm{rank}(A\cdot g(A))\le \mathrm{rank}(A).$ 2.3.21 考虑反对称矩阵的秩。
1. 证明反对称矩阵的秩不能是$1$。
2. 对反对称矩阵$A$，去掉首行首列得到矩阵$B$。求证：$B$也是反对称矩阵且$\mathrm{rank}(B)$等于$\mathrm{rank}(A)$或$\mathrm{rank}(A)-2$。
3. 证明反对称矩阵的秩必然是偶数。由此证明，奇数阶反对称矩阵一定不可逆。
1. 证明：
用反证法，假设$\mathrm{rank}(A)=1$，于是$A=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne 0)$。由反对称矩阵性质有$\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}=-\mathbf{b}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}⟹\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}=-\mathbf{b}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}⟹\mathbf{b}=-\frac{{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}\mathbf{a}=k\mathbf{a}$。所以$\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}=k\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}=-k\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}⟹\mathbf{a}=0$，矛盾。即反对称矩阵的秩不能是$1.$ 2. 证明：
$A$可以被表示成$A=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{v}& B\end{array}\right]$。分两种情况：
(a)若$\mathbf{v}\in \mathcal{R}(B)$，则存在$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n-1}$使$\mathbf{v}=B\mathbf{x}.$ 利用初等行变换和列变换不改变秩，有$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}0& {\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\\ B\mathbf{x}& B\end{array}\right])=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}-{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}& {\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\\ 0& B\end{array}\right])=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}-{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}& 0^{\mathrm{T}}\\ 0& B\end{array}\right])$。而${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}=({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}{)}^{\mathrm{T}}⟹{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}=0$，即$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B).$ (b)若$\mathbf{v}\notin \mathcal{R}(B)$，则$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{v}& B\end{array}\right])=1+\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{c}-{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\\ B\end{array}\right])=1+\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}-{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}& -B\end{array}\right])=2+\mathrm{rank}(B).$ 综上，$\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(A)$或$\mathrm{rank}(A)-2.$ 3.证明：
用数学归纳法。 阶数为2时显然成立。现假设阶数为$n-1$时成立，考虑阶数为$n$的情况。
设$A=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{v}& B\end{array}\right]$是$n$阶反对称矩阵，$B$是$n-1$阶反对称矩阵。根据归纳假设，$\mathrm{rank}(B)$是偶数。由上面讨论可知$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$或$\mathrm{rank}(B)+2$,也是偶数。
这表明阶数为$n-1$时成立则阶数为$n$时也成立，于是$n\ge 2$时都成立。
2.3.22 设$A$是$n$阶可逆实反对称矩阵，$\mathbf{b}$是$n$维实列向量，求证：$\mathrm{rank}(A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}})=n.$
证明：
设$B=\left[\begin{array}{cc}1& -{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{b}& A\end{array}\right]$，由于$A$可逆，于是存在$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$满足$A\mathbf{x}=\mathbf{b}.$ 利用初等行变换和列变换$$\left[\begin{array}{cc}1& -{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{b}& A\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1+{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}& -{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\\ 0& A\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1-{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}& \\ & A\end{array}\right]$$又因为$A$是反对称矩阵，${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}=({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}{)}^{\mathrm{T}}⟹{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}=0$，所以$\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(\left[\begin{array}{cc}1& \\ & A\end{array}\right])=n+1.$ 而$$\left[\begin{array}{cc}1& -{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{b}& A\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& 0^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{b}& A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}1& \\ & A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$于是$n+1=\mathrm{rank}(B)=1+\mathrm{rank}(A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}})⟹\mathrm{rank}(A+\mathbf{b}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}})=n.$ 2.3.23
略。
2.3.24 (秩一分解) 证明，任意秩为$r>0$的矩阵$A$可以分解成$r$个秩为$1$的矩阵的和。
证明：
$$A=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right]Q=P\left[\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_r& O\end{array}\right]Q=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{p}}_1& \cdots & {\mathbf{p}}_r\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{q}}_1^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{q}}_r^{\mathrm{T}}\end{array}\right]={\mathbf{p}}_1{\mathbf{q}}_1^{\mathrm{T}}+\cdots +{\mathbf{p}}_r{\mathbf{q}}_r^{\mathrm{T}}.$$