2.1.2 $\quad$ 判断满足下列性质的$\mathbb{R}^3$子集$\mathcal{M}$是否存在. 若存在，进一步判断哪些是子空间：

$\\$ 1.$M$含有$\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3$；对任意$\bm{v},\bm{w}\in\mathcal{M}$,都有$\bm{v}+\bm{w}\in\mathcal{M};$存在$\bm{v}\in\mathcal{M}$,使得$\cfrac{1}{2}\bm{v}\notin\mathcal{M}.\\$ 2. $\mathcal{M}$含有所有形如$\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\1\end{bmatrix}$的向量；对任意 $\bm{v}\in\mathcal{M}$都有$k\bm{v}\in\mathcal{M}$;存在 $\bm{v},\bm{w}\in\mathcal{M}$，使得$\bm{v}+\bm{w}\notin \mathcal{M}.\\$ 3. $M$含有$\bm{e}_1,\bm{e}_2$但不含有$\bm{e}_3;$对任意$\bm{v},\bm{w}\in\mathcal{M},k\geqslant0$,都有$\bm{v}+\bm{w},k\bm{v}\in\mathcal{M}.\\$ 解：$\\$ 都存在，但都不是子空间。$\\$

2.1.3-5

$\\$ 略。$\\$

2.1.6 $\quad$ 判断下列$A,B$是否具有相同的列空间、零空间，证明或举出反例：

1. $A$为任意矩阵$,B$ 分别为 $2A,\begin{bmatrix}A&A\end{bmatrix},\begin{bmatrix}A&AC\end{bmatrix},\begin{bmatrix}A\\A\end{bmatrix},\begin{bmatrix}A\\CA\end{bmatrix},\begin{bmatrix}A&A\\O&A\end{bmatrix},PA,AQ$,其中$P,Q$可逆.$\\$ 2.$A$为$n$阶方阵，$B$分别为$A+I_n,A^2,A^T.\\$ 1.解：$\\$ $2A$相同列空间和零空间。$\begin{bmatrix}A&A\end{bmatrix}$相同列空间，不同零空间。$\begin{bmatrix}A&AC\end{bmatrix}$相同列空间，不同零空间。$\begin{bmatrix}A\\A\end{bmatrix}$不同列空间，相同零空间。$\begin{bmatrix}A\\CA\end{bmatrix}$不同列空间，相同零空间。$\begin{bmatrix}A&A\\O&A\end{bmatrix}$列空间和零空间都不同。$PA$不同列空间，相同零空间。$AQ$相同列空间，不同零空间。$\\$ 2.解：$\\$ 列空间和零空间都不同。设$A=\begin{bmatrix} 0&1\\0&0 \end{bmatrix}.\\$

2.1.7 $\quad$ 设矩阵$A,B$具有相同的行数和列数，对下列判断证明或举出反例。

$\\$ 1. 如果$A,B$有相同的零空间，那么对任意向量$\bm{b}$，$A\bm{x}=\bm{b}$与$B\bm{x}=\bm{b}$一定同解。$\\$ 2. 如果$A,B$有相同的列空间，那么对任意向量$\bm{b}$，$A\bm{x}=\bm{b}$与$B\bm{x}=\bm{b}$一定同解。$\\$ 3. 如果$A,B$有相同的零空间和列空间，那么对任意向量$\bm{b}$，$A\bm{x}=\bm{b}$与$B\bm{x}=\bm{b}$一定同解。$\\$ 解：$\\$ 都不正确。设$A=\begin{bmatrix} 1\\&1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -1\\&-1 \end{bmatrix}$。$A,B$有相同的零空间和列空间但不同解。$\\$

2.1.8-10

$\\$ 略。$\\$

2.1.11 $\quad$ 如果向量组$\bm{a},\bm{b},\bm{c}$中的任何两个都线性无关，该向量组是否一定线性无关。

$\\$ 解：$\\$ 不一定。如$\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}.\\$

2.1.12 $\quad$ 设$\mathbb{R}^n$中向量$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3$满足$k_1\bm{a}_1+k_2\bm{a}_2+k_3\bm{a}_3=\bm{0}$，其中$k_1k_2\neq 0$。求证：$$\operatorname{span}(\bm{a}_1,\bm{a}_3)=\operatorname{span}(\bm{a}_2,\bm{a}_3).$$

显然，略。$\\$

2.1.13 $\quad$ 设向量组$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_s$线性无关，证明向量组$\bm{a}_1,\bm{a}_1+\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_1+\bm{a}_2+\cdots+\bm{a}_s$线性无关。

$\\$ 证明：$\\$ 设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1&\cdots&\bm{a}_s \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} \bm{a}_1&\bm{a}_1+\bm{a}_2&\cdots&\bm{a}_1+\cdots+\bm{a}_s \end{bmatrix},Q=\begin{bmatrix} 1&\cdots&1\\ &\ddots&\vdots\\ &&1 \end{bmatrix}.\\$ 显然$Q$可逆且$AQ=B$，所以$B\bm{x}=\bm{0}\iff AQ\bm{x}=\bm{0}\iff Q\bm{x}=\bm{0}\iff \bm{x}=\bm{0}$。这表明$B\bm{x}=\bm{0}$只有零解，$B$列向量线性无关。$\\$

2.1.14 $\quad$ 设$\mathbb{R}^n$向量组$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_s$线性无关，$A$是$n$阶可逆矩阵，求证：$A\bm{a}_1,A\bm{a}_2,\cdots,A\bm{a}_s$线性无关。

$\\$ 证明：$\\$ 利用可逆矩阵只有零解立得。$\\$

2.1.15 $\quad$ 证明：一个线性无关向量组的任意部分组也线性无关；如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组也线性相关。

$\\$ 证明：$\\$ 只证后一个命题，前一个命题是后一个命题的逆否命题。如果向量组有一个部分组线性相关，则这个部分组一定有非零解，于是整个向量组也有非零解，所以线性相关。$\\$

2.1.16 $\quad$ 证明：一个向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以被其他向量线性表示。

$\\$ 显然，略。$\\$

2.1.17 $\quad$ 给定$\mathbb{R}^n$中向量组$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_n$，从每个向量中去掉第$i_1,i_2,\cdots,i_s$个分量，得到$\mathbb{R}^{n-s}$中向量组$\bm{a}_1',\bm{a}_2',\cdots,\bm{a}_n'$。证明：

$\\$ 1. 如果$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_n$线性相关，则$\bm{a}_1',\bm{a}_2',\cdots,\bm{a}_n'$线性相关。$\\$ 2. 如果$\bm{a}_1',\bm{a}_2',\cdots,\bm{a}_n'$线性无关，则$\bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_n$线性无关。$\\$ 证明：$\\$ 只证1，2是1的逆否命题。$\\$ 设$P$是$I_m$去掉第$i_1,i_2,\cdots,i_s$个行向量后得到的$(m-s)\times m$矩阵。又设$A=\begin{bmatrix} \bm{a}_1&\cdots&\bm{a}_n \end{bmatrix}$，则$\begin{bmatrix} \bm{a}_1'&\cdots&\bm{a}_n' \end{bmatrix}=PA.\\$ $A\bm{x}=\bm{0},\bm{x}\neq\bm{0} \implies PA\bm{x}=\bm{0}$也成立$\implies \bm{a}_1'\cdots,\bm{a}_n'$线性相关。$\\$

2.1.18 $\quad$ 证明，对任意$\mathbb{R}^m$的非平凡子空间$\mathcal{M},\mathcal{N}$，都有$\mathcal{M}\cup\mathcal{N}\neq\mathbb{R}^m.\\$

证明：$\\$ 分两种情况。$\\$ (a) 若存在$\bm{x}\in\mathcal{M}$但$\bm{x}\notin\mathcal{N}$，$\bm{y}\in\mathcal{N}$但$\bm{y}\notin\mathcal{M}.\\$ 此时$\bm{x}+\bm{y}\notin\mathcal{M},\bm{x}+\bm{y}\notin\mathcal{N}\implies \bm{x}+\bm{y}\notin\mathcal{M}\cup\mathcal{N}\implies \mathcal{M}\cup\mathcal{N}\neq\mathbb{R}^m.\\$ (b) 若满足上面条件的向量不存在。$\\$ 此时$\mathcal{M}\subseteq\mathcal{N}$或$\mathcal{N}\subseteq\mathcal{M}$。但$\mathcal{M},\mathcal{N}\neq\mathbb{R}^m$，所以$\mathcal{M}\cup\mathcal{N}\neq\mathbb{R}^m.\\$

2.1.19 (子空间的和)$\quad$ 设$\mathcal{M},\mathcal{N}$是$\mathbb{R}^m$的两个子空间，定义集合：$$\mathcal{M}+\mathcal{N}:=\{\bm{m}+\bm{n}|\bm{m}\in\mathcal{M},\bm{n}\in\mathcal{N}\}.$$证明：

$\\$ 1. 集合$\mathcal{M}+\mathcal{N}$是$\mathbb{R}^m$的子空间，称为子空间$\mathcal{M}$与$\mathcal{N}$的和。$\\$ 2. 集合$\mathcal{M}\cap\mathcal{N}$是$\mathbb{R}^m$的子空间，称为子空间$\mathcal{M}$与$\mathcal{N}$的交。$\\$ 3. 集合的交和并满足$(S_1 \cup S_2)\cap S_3=(S_1 \cap S_3)\cup(S_2 \cap S_3)$。证明或举出反例：子空间的交与和满足$(\mathcal{M}+\mathcal{N})\cap\mathcal{W}=(\mathcal{M}\cap\mathcal{W})+(\mathcal{N}\cap\mathcal{W}).\\$ 4. 集合的交和并满足$(S_1 \cap S_2)\cup S_3=(S_1 \cup S_3)\cap(S_2 \cup S_3)$。证明或举出反例：子空间的交与和满足$(\mathcal{M}\cap\mathcal{N})+\mathcal{W}=(\mathcal{M}+\mathcal{W})\cap(\mathcal{N}+\mathcal{W}).\\$ 1.2.$\\$ 显然，略。$\\$ 3.4.$\\$ 不正确。设$\mathcal{M}=k\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\mathcal{N}=k\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\mathcal{W}=k\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},k\in\mathbb{R}.\\$

2.1.20-24

$\\$ 略。$\\$