1.7.1-3

$\\$ 略。$\\$

1.7.4 $\quad$ 设$n$阶方阵$$T=\begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&2&-1\\ &-1&2&\ddots\\ &&\ddots&\ddots&-1\\ &&&-1&2 \end{bmatrix}.$$利用初等变换证明，存在分解式$T=LU$，其中$L$是下三角矩阵，$U$是上三角矩阵。据此求出$T^{-1}$。

$\\$ 证明：$\\$ 可以发现从第一行开始，将每一行加到下一行就能将$T$化为上三角矩阵，即$$\begin{bmatrix} 1\\ 1&1\\ &\ddots&\ddots\\ &&1&1 \end{bmatrix}T=\begin{bmatrix} 1&-1\\ &1&\ddots\\ &&\ddots&-1\\ &&&1 \end{bmatrix}$$于是$$T=LU=\begin{bmatrix} 1\\ -1&1\\ &\ddots&\ddots\\ &&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&-1\\ &1&\ddots\\ &&\ddots&-1\\ &&&1 \end{bmatrix}.$$ 所以$$T^{-1}=U^{-1}L^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ &1&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&1\\ &&&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1&1\\ \vdots&\ddots&\ddots\\ 1&\cdots&1&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n&n-1&n-2&\cdots&1\\ n-1&n-1&n-2&\cdots&1\\ n-2&n-2&n-2&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}.$$