1.7 LU分解

1.7.1-3
\\ 略。\\
1.7.4 \quad 设nn阶方阵T=[1−1−12−1−12⋱⋱⋱−1−12].T=\begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&2&-1\\ &-1&2&\ddots\\ &&\ddots&\ddots&-1\\ &&&-1&2 \end{bmatrix}.利用初等变换证明，存在分解式T=LUT=LU，其中LL是下三角矩阵，UU是上三角矩阵。据此求出T−1T^{-1}。
\\ 证明：\\ 可以发现从第一行开始，将每一行加到下一行就能将TT化为上三角矩阵，即[111⋱⋱11]T=[1−11⋱⋱−11]\begin{bmatrix} 1\\ 1&1\\ &\ddots&\ddots\\ &&1&1 \end{bmatrix}T=\begin{bmatrix} 1&-1\\ &1&\ddots\\ &&\ddots&-1\\ &&&1 \end{bmatrix}于是T=LU=[1−11⋱⋱−11][1−11⋱⋱−11].T=LU=\begin{bmatrix} 1\\ -1&1\\ &\ddots&\ddots\\ &&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&-1\\ &1&\ddots\\ &&\ddots&-1\\ &&&1 \end{bmatrix}. 所以T−1=U−1L−1=[11⋯11⋱⋮⋱11][111⋮⋱⋱1⋯11]=[nn−1n−2⋯1n−1n−1n−2⋯1n−2n−2n−2⋯1⋮⋮⋮⋱⋮111⋯1].T^{-1}=U^{-1}L^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ &1&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&1\\ &&&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1&1\\ \vdots&\ddots&\ddots\\ 1&\cdots&1&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n&n-1&n-2&\cdots&1\\ n-1&n-1&n-2&\cdots&1\\ n-2&n-2&n-2&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}.