1.7 LU分解

1.7.1-3
略。
1.7.4 设$n$阶方阵$$T=\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& & & \\ -1& 2& -1& & \\ & -1& 2& \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & -1\\ & & & -1& 2\end{array}\right].$$利用初等变换证明，存在分解式$T=LU$，其中$L$是下三角矩阵，$U$是上三角矩阵。据此求出$T^{-1}$。
证明：
可以发现从第一行开始，将每一行加到下一行就能将$T$化为上三角矩阵，即$$\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ 1& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1& 1\end{array}\right]T=\left[\begin{array}{cccc}1& -1& & \\ & 1& \ddots & \\ & & \ddots & -1\\ & & & 1\end{array}\right]$$于是$$T=LU=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ -1& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -1& & \\ & 1& \ddots & \\ & & \ddots & -1\\ & & & 1\end{array}\right].$$ 所以$$T^{-1}=U^{-1}{L}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ & 1& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & 1\\ & & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ 1& 1& & \\ ⋮& \ddots & \ddots & \\ 1& \cdots & 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}n& n-1& n-2& \cdots & 1\\ n-1& n-1& n-2& \cdots & 1\\ n-2& n-2& n-2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right].$$