1.6 分块矩阵

1.6.1-2
略。
1.6.3 计算下列分块矩阵。
1. ${\left[\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ A& I_m\end{array}\right]}^{-1}.$ 2. ${\left[\begin{array}{cc}O& I_m\\ I_n& A\end{array}\right]}^{-1}.$ 1. 解：$\left[\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ -A& I_m\end{array}\right].$ 2. 解：$\left[\begin{array}{cc}-A& I_n\\ I_m& O\end{array}\right].$ 1.6.4-6
显然，略。
1.6.7
1. 任取$m\times n$矩阵$X$，分块矩阵$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$，计算$\left[\begin{array}{cc}{I}_m& X\\ O& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right].$ 2. 由此判断$\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & c_1\\ & 1& & & c_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& c_{n-1}\\ b_1& b_2& \cdots & b_{n-1}& a\end{array}\right]$何时可逆，并在可逆时求其逆。
1.
略。
2.解：
设$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right],\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right]$，则原矩阵可表示为$\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& \mathbf{c}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}& a\end{array}\right]$。利用行变换，得到$$\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& \mathbf{c}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}& a\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& \mathbf{c}\\ 0^{\mathrm{T}}& a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-1}& 0\\ 0^{\mathrm{T}}& a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}\end{array}\right]$$ 于是矩阵可逆当且仅当$a\ne {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}$。矩阵可逆时逆矩阵是$\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-1}+\frac{\mathbf{c}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}}{a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}}& -\frac{\mathbf{c}}{a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}}\\ -\frac{{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}}{a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}}& \frac{1}{a-{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{c}}\end{array}\right].$ 1.6.8 利用Sherman-Morrison公式判断下列矩阵何时可逆，并在可逆时求其逆。$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1+1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& a_2+1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& a_3+1& \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1& a_n+1\end{array}\right].$$
1.6.9
1. 求一个矩阵$A$使得$\left[\begin{array}{cc}O& A\\ A& O\end{array}\right]$为反对称矩阵。
2. 求一个$5$阶置换矩阵$P$，满足$P^5\ne I_5,P^6=I_5.$ 3. 求一个对称矩阵$A$，使得不存在$B$，满足$A=B{B}^{\mathrm{T}}.$ 1.解：
$\left[\begin{array}{cc}O& A\\ A& O\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{cc}O& A^{\mathrm{T}}\\ A^{\mathrm{T}}& O\end{array}\right]⟹A=-A^{\mathrm{T}}⟹A$为反对称矩阵。所以取$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$即可。
2.解：
$P=\left[\begin{array}{ccccc}& 1& & & \\ 1& & & & \\ & & 1& & \\ & & & 1& \\ & & & & 1\end{array}\right].$ 3.解：
注意到$\mathrm{trace}(B{B}^{\mathrm{T}})=0$当且仅当$B=O$，所以只需要构造一个对称矩阵$A$满足$\mathrm{trace}(A)=0$但$A\ne O$即可。于是$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right].$ 1.6.10 给定$m\times n,n\times m$矩阵$A,B$，求证：$I_m+AB$可逆当且仅当$I_n+BA$可逆。
证明：
注意初等行列变换不改变可逆性，于是$I_m+AB$可逆$⟺\left[\begin{array}{cc}{I}_m+AB& \\ B& I_n\end{array}\right]$可逆$⟺\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ B& I_n\end{array}\right]$可逆$⟺\left[\begin{array}{cc}{I}_m& \\ B& I_n+BA\end{array}\right]$可逆$⟺I_n+BA$可逆。
1.6.11 设实分块方阵$X=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right]$，其中$A$是方阵。如果$X$和$X^{\mathrm{T}}$可交换，求证：$C=O.$
证明：
$X$和$X^{\mathrm{T}}$可交换$⟹X{X}^{\mathrm{T}}-X^{\mathrm{T}}X=O⟹\left[\begin{array}{cc}A{A}^{\mathrm{T}}+C{C}^{\mathrm{T}}-A^{\mathrm{T}}A& C{B}^{\mathrm{T}}-A^{\mathrm{T}}C\\ B{C}^{\mathrm{T}}-C^{\mathrm{T}}A& B{B}^{\mathrm{T}}-B^{\mathrm{T}}B-C^{\mathrm{T}}C\end{array}\right]=O.$ 所以 $$\begin{array}{rl}0& =\mathrm{trace}(B{B}^{\mathrm{T}}-B^{\mathrm{T}}B-C^{\mathrm{T}}C)\\ & =\mathrm{trace}(B{B}^{\mathrm{T}})-\mathrm{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\mathrm{trace}(C^{\mathrm{T}}C)\\ & =\mathrm{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\mathrm{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\mathrm{trace}(C^{\mathrm{T}}C)\\ & =-\mathrm{trace}(C^{\mathrm{T}}C)\end{array}$$ 即$\mathrm{trace}(C^{\mathrm{T}}C)=0$，而$\mathrm{trace}(C^{\mathrm{T}}C)=\sum _{1\le i\le m,1\le j\le n}{c}_{ij}^2$，于是$C=O.$ 1.6.12 设分块对角矩阵$J=\left[\begin{array}{ccc}{J}_1& & \\ & J_2& \\ & & J_3\end{array}\right]$，其中$J_1=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ & 2\end{array}\right],J_2=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& \\ & 2& 1\\ & & 2\end{array}\right],J_3=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ & 1\end{array}\right]$。试找出一个五次多项式$f(x)$，使得$f(J)=O.$
1.6.13 构造$2n$阶实方阵$A$，满足$A^2=-I_{2n}.$
解：
$A=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& -\sqrt{2}{I}_n\\ \sqrt{2}{I}_n& -I_n\end{array}\right].$ 1.6.14
显然，略。
1.6.15 (置换的不动点) 设$P$是置换矩阵。如果$P$对应的行变换保持第$i$行不变，则称$i$为$P$的不动点。
1. 证明$i$是$P$的不动点当且仅当$P$的第$i$个对角元为$1$。
2. 证明$P$的不动点个数等于$\mathrm{trace}(P).$ 3. 对任意置换矩阵$P_1,P_2$，证明$P_1{P}_2$和$P_2{P}_1$的不动点个数相等。
1.6.16 考虑${\mathbb{R}}^n$上的变换$f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$，具有该形式的变换称为仿射变换。仿射变换通常不是线性变换。
1. 证明$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\\ 0^{\mathrm{T}}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(\mathbf{x})\\ 1\end{array}\right].$ 2. 对仿射变换$f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$，记$M_f:=\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\\ 0^{\mathrm{T}}& 1\end{array}\right]$。证明对任意仿射变换$f(\mathbf{x}),g(\mathbf{x}),M_f{M}_g=M_{f\cdot g}.$ 1.6.17-18
略。
1.6.19 (错位分块对角矩阵) 定义$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]△\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& a_{12}& 0\\ 0& b_{11}& 0& b_{12}\\ a_{21}& 0& a_{22}& 0\\ 0& b_{21}& 0& b_{22}\end{array}\right].$$
1. 证明$(A_1△B_1)(A_2△B_2)=(A_1{A}_2)△(B_1{B}_2).$ 2. 证明$A△B$可逆当且仅当$A,B$都可逆；此时有$(A△B{)}^{-1}=A^{-1}△B^{-1}.$ 3. 求$X$，使得对任意二阶方阵$A,B$，都有$X(A△B)X^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right].$ 1.证明：
设$A,B$均为$n$阶方阵，显然只用行和列上的置换就可以将$A△B$化为$\left[\begin{array}{cc}A& \\ & B\end{array}\right]$，即$P(A△B)P^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}A& \\ & B\end{array}\right]$，其中$P=\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_{n+1}& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_{n+2}& \cdots & {\mathbf{e}}_n& {\mathbf{e}}_{2n}\end{array}\right]$，且$P{P}^{\mathrm{T}}=I_{2n}$。这表明$P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$。
于是 $$\begin{array}{rl}(A_1△B_1)(A_2△B_2)& =P^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & B_1\end{array}\right]P{P}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}{A}_2& \\ & B_2\end{array}\right]P\\ & =P^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}{A}_1{A}_2& \\ & B_1{B}_2\end{array}\right]P\\ & =(A_1{A}_2)△(B_1{B}_2)\end{array}$$ 2.证明：
由于$A△B=P^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}A& \\ & B\end{array}\right]P$，且$P$可逆。所以$A△B$可逆$⟺\left[\begin{array}{cc}A& \\ & B\end{array}\right]$可逆$⟺A,B$都可逆。
此时$(A△B{)}^{-1}=P^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& \\ & B^{-1}\end{array}\right]P=A^{-1}△B^{-1}.$ 3.解：
由(1)中讨论立知$X=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_3& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & & 1& \\ & 1& & \\ & & & 1\end{array}\right].$