1.6 分块矩阵

1.6.1-2

$\\$ 略。$\\$

1.6.3 $\quad$ 计算下列分块矩阵。

$\\$ 1. $\begin{bmatrix} I_n&O\\ A&I_m \end{bmatrix}^{-1}.\\$ 2. $\begin{bmatrix} O&I_m\\ I_n&A \end{bmatrix}^{-1}.\\$ 1. 解：$\begin{bmatrix} I_n&O\\-A&I_m \end{bmatrix}.\\$ 2. 解：$\begin{bmatrix} -A&I_n\\I_m&O \end{bmatrix}.\\$

1.6.4-6

$\\$ 显然，略。$\\$

1.6.7

$\\$ 1. 任取$m \times n$矩阵$X$，分块矩阵$\begin{bmatrix} A&B\\C&D \end{bmatrix}$，计算$\begin{bmatrix} I_m&X\\O&I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B\\C&D \end{bmatrix}.\\$ 2. 由此判断$\begin{bmatrix} 1&&&&c_1\\ &1&&&c_2\\ &&\ddots&&\vdots\\ &&&1&c_{n-1}\\ b_1&b_2&\cdots&b_{n-1}&a \end{bmatrix}$何时可逆，并在可逆时求其逆。$\\$ 1.$\\$ 略。$\\$ 2.解：$\\$ 设$\bm{b}=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_{n-1}\end{bmatrix},\bm{c}=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_{n-1}\end{bmatrix}$，则原矩阵可表示为$\begin{bmatrix}I_{n-1}&\bm{c}\\\bm{b}^{\mathrm{T}}&a\end{bmatrix}$。利用行变换，得到$$\begin{bmatrix}I_{n-1}&\bm{c}\\\bm{b}^{\mathrm{T}}&a\end{bmatrix}\implies\begin{bmatrix}I_{n-1}&\bm{c}\\\bm{0}^{\mathrm{T}}&a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}\end{bmatrix}\implies\begin{bmatrix}I_{n-1}&\bm{0}\\\bm{0}^{\mathrm{T}}&a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}\end{bmatrix}$$ 于是矩阵可逆当且仅当$a\neq\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}$。矩阵可逆时逆矩阵是$\begin{bmatrix} I_{n-1}+\cfrac{\bm{c}\bm{b}^{\mathrm{T}}}{a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}}&-\cfrac{\bm{c}}{a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}}\\ -\cfrac{\bm{b}^{\mathrm{T}}}{a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}}&\cfrac{1}{a-\bm{b}^{\mathrm{T}}\bm{c}} \end{bmatrix}.\\$

1.6.8 $\quad$ 利用Sherman-Morrison公式判断下列矩阵何时可逆，并在可逆时求其逆。$$\begin{bmatrix} a_1+1&1&1&\cdots&1\\ 1&a_2+1&1&\cdots&1\\ 1&1&a_3+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&1&\cdots&1&a_n+1\\ \end{bmatrix}.$$

$\\$ 利用Sherman-Morrison公式立得，略。$\\$

1.6.9

$\\$ 1. 求一个矩阵$A$使得$\begin{bmatrix} O&A\\A&O \end{bmatrix}$为反对称矩阵。$\\$ 2. 求一个$5$阶置换矩阵$P$，满足$P^5\neq I_5, P^6=I_5.\\$ 3. 求一个对称矩阵$A$，使得不存在$B$，满足$A=BB^\mathrm{T}.\\$ 1.解：$\\$ $\begin{bmatrix} O&A\\A&O \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} O&A^{\mathrm{T}}\\A^{\mathrm{T}}&O \end{bmatrix}\implies A=-A^{\mathrm{T}}\implies A$为反对称矩阵。所以取$A=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix}$即可。$\\$ 2.解：$\\$ $P=\begin{bmatrix} &1&\\ 1&\\ &&1\\ &&&1\\ &&&&1 \end{bmatrix}.\\$ 3.解：$\\$ 注意到$\operatorname{trace}(BB^{\mathrm{T}})=0$当且仅当$B=O$，所以只需要构造一个对称矩阵$A$满足$\operatorname{trace}(A)=0$但$A\neq O$即可。于是$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.\\$

1.6.10 $\quad$ 给定$m \times n, n\times m$矩阵$A,B$，求证：$I_m+AB$可逆当且仅当$I_n+BA$可逆。

$\\$ 证明：$\\$ 注意初等行列变换不改变可逆性，于是$I_m+AB$可逆$\iff\begin{bmatrix}I_m+AB\\B&I_n\end{bmatrix}$可逆$\iff\begin{bmatrix}I_m&-A\\B&I_n\end{bmatrix}$可逆$\iff\begin{bmatrix}I_m\\B&I_n+BA\end{bmatrix}$可逆$\iff I_n+BA$可逆。$\\$

1.6.11 $\quad$ 设实分块方阵$X=\begin{bmatrix} A&C\\O&B \end{bmatrix}$，其中$A$是方阵。如果$X$和$X^{\mathrm{T}}$可交换，求证：$C=O.$

$\\$ 证明：$\\$ $X$和$X^{\mathrm{T}}$可交换$\implies XX^{\mathrm{T}}-X^{\mathrm{T}}X=O\implies\begin{bmatrix} AA^{\mathrm{T}}+CC^{\mathrm{T}}-A^{\mathrm{T}}A&CB^{\mathrm{T}}-A^{\mathrm{T}}C\\ BC^{\mathrm{T}}-C^{\mathrm{T}}A&BB^{\mathrm{T}}-B^{\mathrm{T}}B-C^{\mathrm{T}}C \end{bmatrix}=O.\\$ 所以 $$\begin{align*} 0&=\operatorname{trace}(BB^{\mathrm{T}}-B^{\mathrm{T}}B-C^{\mathrm{T}}C)\\ &=\operatorname{trace}(BB^{\mathrm{T}})-\operatorname{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\operatorname{trace}(C^{\mathrm{T}}C)\\ &=\operatorname{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\operatorname{trace}(B^{\mathrm{T}}B)-\operatorname{trace}(C^{\mathrm{T}}C)\\ &=-\operatorname{trace}(C^{\mathrm{T}}C) \end{align*}$$ 即$\operatorname{trace}(C^{\mathrm{T}}C)=0$，而$\operatorname{trace}(C^{\mathrm{T}}C)=\displaystyle\sum_{1\leq i \leq m,1\leq j \leq n} c_{ij}^2$，于是$C=O.\\$

1.6.12

$\\$ 略。$\\$

1.6.13 $\quad$ 构造$2n$阶实方阵$A$，满足$A^2=-I_{2n}.$

$\\$ 解：$\\$ $A=\begin{bmatrix} I_n&-\sqrt{2}I_n\\ \sqrt{2}I_n&-I_n \end{bmatrix}.\\$

1.6.14-18

$\\$ 略。$\\$

1.6.19 $\quad$ (错位分块对角矩阵) 定义$$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}\triangle \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&0&a_{12}&0\\ 0&b_{11}&0&b_{12}\\ a_{21}&0&a_{22}&0\\ 0&b_{21}&0&b_{22}\\ \end{bmatrix}.$$ 1. 证明$(A_1\triangle B_1)(A_2\triangle B_2)=(A_1A_2)\triangle(B_1B_2).\\$ 2. 证明$A\triangle B$可逆当且仅当$A,B$都可逆；此时有$(A\triangle B)^{-1}=A^{-1}\triangle B^{-1}.\\$ 3. 求$X$，使得对任意二阶方阵$A,B$，都有$X(A \triangle B)X^{-1}=\begin{bmatrix} A&O\\O&B \end{bmatrix}.\\$

1.证明：$\\$ 设$A,B$均为$n$阶方阵，显然只用行和列上的置换就可以将$A\triangle B$化为$\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}$，即$P(A\triangle B)P^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}$，其中$P=\begin{bmatrix} \bm{e}_1&\bm{e}_{n+1}&\bm{e}_2&\bm{e}_{n+2}&\cdots&\bm{e}_{n}&\bm{e}_{2n} \end{bmatrix}$，且$PP^{\mathrm{T}}=I_{2n}$。这表明$P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$。 $\\$ 于是 $$\begin{align*} (A_1\triangle B_1)(A_2\triangle B_2)&=P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix}A_1\\&B_1\end{bmatrix}PP^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix}A_2\\&B_2\end{bmatrix}P\\ &=P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix}A_1A_2\\&B_1B_2\end{bmatrix}P\\ &=(A_1A_2)\triangle(B_1B_2) \end{align*}$$ 2.证明：$\\$ 由于$A\triangle B=P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix}A\\&B\end{bmatrix}P$，且$P$可逆。所以$A\triangle B$可逆$\iff\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}$可逆$\iff A,B$都可逆。$\\$ 此时$(A\triangle B)^{-1}=P^{\mathrm{T}}\begin{bmatrix}A^{-1}\\&B^{-1}\end{bmatrix}P=A^{-1}\triangle B^{-1}.\\$ 3.解：$\\$ 由(1)中讨论立知$X=\begin{bmatrix}\bm{e}_1&\bm{e}_3&\bm{e}_2&\bm{e}_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ &&1\\ &1\\ &&&1 \end{bmatrix}.\\$