0.3.1

$\\$ 略。$\\$

0.3.2 $\quad$ 对复合映射$f=g \circ h$，证明或举出反例。

$\\$ 1. $g,h$都是满射，则$f$是满射。$\\$ 2. $g,h$都是单射，则$f$是单射。$\\$ 3. $h$不是满射，则$f$不是满射。$\\$ 4. $g$不是满射，则$f$不是满射。$\\$ 5. $g$不是单射，则$f$不是单射。$\\$ 6. $h$不是单射，则$f$不是单射。$\\$ 7. $g,h$都不是双射，则$f$不是双射。$\\$ 解：$\\$ 设$h: X \to S, x \mapsto h(x); g: S \to Y, x \mapsto g(x); f: X \to Y, x \mapsto g(h(x));\\$ 1. 正确。$\\$ $g$是满射$\implies\forall y \in Y, \exists s \in S, g(s)=y$。$h$是满射$\implies\forall s \in S, \exists x \in X, h(x)=s$。由此可得$\forall y \in Y, \exists x \in X, g(h(x))=y \implies f$是满射。$\\$ 2. 正确。$\\$ $g,h$都是单射$\implies\forall a \neq b \in X, h(a) \neq h(b)\implies g(h(a))\neq g(h(b)) \implies f$是单射。$\\$ 3. 不正确。$\\$ 设$g: \mathbb{R}\to\{0\},x \mapsto 0; h: \mathbb{R}\to\mathbb{R},x \mapsto x^2;$于是$f=g \circ h: \mathbb{R}\to\{0\},x \mapsto 0;$显然此时$h$不是满射，但$f$是满射。$\\$ 4. 正确。$\\$ $\exists y \in Y$满足不存在$s \in S$使$g(s)=y \implies \exists y \in Y$满足不存在$x \in X$使$g(h(x))=y.\\$ 5. 不正确。$\\$ 设$g: \mathbb{R}\to\mathbb{R},x \mapsto x^2; h: \mathbb{R}\to\mathbb{R},x \mapsto e^x;$于是$f=g \circ h: \mathbb{R}\to\mathbb{R},x \mapsto e^{2x};$显然此时$g$不是单射，但$f$是单射。$\\$ 6. 正确。$\\$ $h$不是单射$\implies \exists a \neq b, h(a)=h(b)\implies g(h(a))=g(h(b))\implies f$不是单射。$\\$ 7. 不正确。$\\$ 设$g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+},x \mapsto \vert x \vert; h: \mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R},x \mapsto x;$于是$f=g \circ h: \mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+},x \mapsto x;$显然此时$g,h$都不是双射，但$f$是双射。$\\$

0.3.3-7

$\\$ 略。$\\$

0.3.8 $\quad$ 证明，任意映射$f$都存在分解$f=g \circ h$，其中$h$是满射，$g$是单射。

$\\$ 证明：$\\$ 设$f:X\to Y, x \mapsto f(x)$，令$h: X\to f(X), x \mapsto f(x); g: f(X)\to Y, x \mapsto x;$其中集合$f(X)=\{f(x)| x \in X\}$是$f$的像集或值域。显然此时$f=g \circ h$且$h$是满射，$g$是单射。$\\$

0.3.9 $\quad$ 给定映射$h,g$和$f=g \circ h$，证明，若$f$是双射，则$h$是单射，$g$是满射。

$\\$ 证明：$\\$ 只证其逆否命题：若$h$不是单射或$g$不是满射，则$f$不是双射。而由0.3.2中结论，这显然成立，于是命题成立。$\\$

0.3.10 $\quad$ 证明命题0.3.2 $\quad$ 对映射$f: X \to Y$，若$X \neq \varnothing$，则有$\\$ 1. $f$是单射当且仅当存在另外一个映射$g: Y\to X$，使得$g\circ f=\operatorname{id}_X.\\$ 2. $f$是满射当且仅当存在另外一个映射$g: Y\to X$，使得$f \circ g=\operatorname{id}_Y.\\$ 3. $f$是双射当且仅当$f$可逆，即存在另外一个映射$g: Y\to X$，使得$f \circ g=\operatorname{id}_Y, g\circ f=\operatorname{id}_X.\\$

1. 证明：$\\$ 先证：$f$是单射$\implies$存在$g: Y\to X$，使得$g\circ f=\operatorname{id}_X.\\$ $f$是单射$\implies\forall y \in f(X)$，存在唯一的$x$满足$f(x)=y$。直接构造$g$: $$g: Y\to X$$ $$g(y)=\begin{cases} x&y\in f(X)\\ x_0&y\notin f(X)\\ \end{cases}$$ 其中$x_0$是$X$中任意一个元素。此时$g(f(x))=x\implies g \circ f=\operatorname{id}_X.\\$ 再证：存在$g: Y\to X$，使得$g\circ f=\operatorname{id}_X \implies f$是单射。$\\$ 设$f(a)=f(b)$，则$a=\operatorname{id}_X(a)=g(f(a))=g(f(b))=\operatorname{id}_X(b)=b$，这表明$f$是单射。$\\$ 于是命题成立。$\\$ 2. 证明：$\\$ 先证：$f$是满射$\implies$存在$g: Y\to X$，使得$f \circ g=\operatorname{id}_Y.\\$ $f$是满射$\implies \forall y \in Y, \exists x \in X$满足$f(x)=y$。直接构造$g$:$$g:Y\to X$$ $$g(y)=\begin{cases} x&\text{if } x \text{ is unique.}\\ x_0&\text{if } f(x_0)= f(x_1)=\cdots=y \end{cases}$$简单来说，若存在唯一的$x$满足$f(x)=y$，则$g(y)=x$，若存在多个$x$满足$f(x)=y$，则任选一个作为$g(y)$的值。此时$h(g(x))=y\implies f \circ g=\operatorname{id}_Y.\\$ 再证：存在$g: Y\to X$，使得$f\circ g=\operatorname{id}_Y \implies f$是满射。$\\$ $\forall y\in Y, y=\operatorname{id}_Y(y)=f(g(y))=f(x)\implies f$是满射。$\\$ 于是命题成立。$\\$ 3. 证明：$\\$ 由1,2立得。