0.3 映射

0.3.1
略。
0.3.2 对复合映射$f=g\circ h$，证明或举出反例。
1. $g,h$都是满射，则$f$是满射。
2. $g,h$都是单射，则$f$是单射。
3. $h$不是满射，则$f$不是满射。
4. $g$不是满射，则$f$不是满射。
5. $g$不是单射，则$f$不是单射。
6. $h$不是单射，则$f$不是单射。
7. $g,h$都不是双射，则$f$不是双射。
解：
设$h:X\to S,x\mapsto h(x);g:S\to Y,x\mapsto g(x);f:X\to Y,x\mapsto g(h(x));$ 1. 正确。
$g$是满射$⟹\forall y\in Y,\exists s\in S,g(s)=y$。$h$是满射$⟹\forall s\in S,\exists x\in X,h(x)=s$。由此可得$\forall y\in Y,\exists x\in X,g(h(x))=y⟹f$是满射。
2. 正确。
$g,h$都是单射$⟹\forall a\ne b\in X,h(a)\ne h(b)⟹g(h(a))\ne g(h(b))⟹f$是单射。
3. 不正确。
设$g:\mathbb{R}\to \{0\},x\mapsto 0;h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2;$于是$f=g\circ h:\mathbb{R}\to \{0\},x\mapsto 0;$显然此时$h$不是满射，但$f$是满射。
4. 正确。
$\exists y\in Y$满足不存在$s\in S$使$g(s)=y⟹\exists y\in Y$满足不存在$x\in X$使$g(h(x))=y.$ 5. 不正确。
设$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2;h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto e^x;$于是$f=g\circ h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto e^{2x};$显然此时$g$不是单射，但$f$是单射。
6. 正确。
$h$不是单射$⟹\exists a\ne b,h(a)=h(b)⟹g(h(a))=g(h(b))⟹f$不是单射。
7. 不正确。
设$g:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},x\mapsto |x|;h:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R},x\mapsto x;$于是$f=g\circ h:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+},x\mapsto x;$显然此时$g,h$都不是双射，但$f$是双射。
0.3.3-7
略。
0.3.8 证明，任意映射$f$都存在分解$f=g\circ h$，其中$h$是满射，$g$是单射。
证明：
设$f:X\to Y,x\mapsto f(x)$，令$h:X\to f(X),x\mapsto f(x);g:f(X)\to Y,x\mapsto x;$其中集合$f(X)=\{f(x)|x\in X\}$是$f$的像集或值域。显然此时$f=g\circ h$且$h$是满射，$g$是单射。
0.3.9 给定映射$h,g$和$f=g\circ h$，证明，若$f$是双射，则$h$是单射，$g$是满射。
证明：
只证其逆否命题：若$h$不是单射或$g$不是满射，则$f$不是双射。而由0.3.2中结论，这显然成立，于是命题成立。
0.3.10 证明命题0.3.2 对映射$f:X\to Y$，若$X\ne \varnothing$，则有
1. $f$是单射当且仅当存在另外一个映射$g:Y\to X$，使得$g\circ f={\mathrm{id}}_X.$ 2. $f$是满射当且仅当存在另外一个映射$g:Y\to X$，使得$f\circ g={\mathrm{id}}_Y.$ 3. $f$是双射当且仅当$f$可逆，即存在另外一个映射$g:Y\to X$，使得$f\circ g={\mathrm{id}}_Y,g\circ f={\mathrm{id}}_X.$ 1. 证明：
先证：$f$是单射$⟹$存在$g:Y\to X$，使得$g\circ f={\mathrm{id}}_X.$ $f$是单射$⟹\forall y\in f(X)$，存在唯一的$x$满足$f(x)=y$。直接构造$g$: $$g:Y\to X$$ $$g(y)=\{\begin{array}{ll}x& y\in f(X)\\ x_0& y\notin f(X)\end{array}$$ 其中$x_0$是$X$中任意一个元素。此时$g(f(x))=x⟹g\circ f={\mathrm{id}}_X.$ 再证：存在$g:Y\to X$，使得$g\circ f={\mathrm{id}}_X⟹f$是单射。
设$f(a)=f(b)$，则$a={\mathrm{id}}_X(a)=g(f(a))=g(f(b))={\mathrm{id}}_X(b)=b$，这表明$f$是单射。
于是命题成立。
2. 证明：
先证：$f$是满射$⟹$存在$g:Y\to X$，使得$f\circ g={\mathrm{id}}_Y.$ $f$是满射$⟹\forall y\in Y,\exists x\in X$满足$f(x)=y$。直接构造$g$:$$g:Y\to X$$ $$g(y)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }x\text{ is unique.}\\ x_0& \text{if }f(x_0)=f(x_1)=\cdots =y\end{array}$$简单来说，若存在唯一的$x$满足$f(x)=y$，则$g(y)=x$，若存在多个$x$满足$f(x)=y$，则任选一个作为$g(y)$的值。此时$h(g(x))=y⟹f\circ g={\mathrm{id}}_Y.$ 再证：存在$g:Y\to X$，使得$f\circ g={\mathrm{id}}_Y⟹f$是满射。
$\forall y\in Y,y={\mathrm{id}}_Y(y)=f(g(y))=f(x)⟹f$是满射。
于是命题成立。
3. 证明：
由1,2立得。