0.1 逻辑与集合

0.1.1
略。
0.1.2 对任意两个命题$A,B$，$A⟹B$可以定义为$B\vee (\neg A)$。直观上可以如此理解：$B\vee (\neg A)$成立等价于$A$不成立或$B$成立，于是当$A$成立时必有$B$成立。运用0.1.1中的逻辑运算律，证明$(A⟹B)⟺((\neg B)⟹(\neg A)).$ 证明：
利用交换律$$(A⟹B)⟺B\vee (\neg A)⟺(\neg A)\vee B⟺((\neg B)⟹(\neg A))$$这表明一个命题成立当且仅当其逆否命题成立。
0.1.3 对任意三个命题$A,B,C$，运用$\mathrm{0.1.1}$中的逻辑运算律，证明逻辑符合模律，即当$A$是$C$的必要条件时，$(A\wedge B)\vee C⟺A\wedge (B\vee C).$ 证明：
利用$C⟹A⟺A\vee (\neg C)=\mathrm{True}.$ 于是$$(A\wedge B)\vee C⟺(A\vee C)\wedge (B\vee C)⟺(A\vee (\neg C))\wedge (A\vee C)\wedge (B\vee C)⟺A\wedge (B\vee C)$$ 0.1.4 对任意两个命题$A,B$，我们定义异或$A\oplus B$为$(A\wedge (\neg B))\vee (B\wedge (\neg A)).$ 1. 略。
2. 证明异或满足交换律和结合律。
直接计算立得，略。