0.1 逻辑与集合

0.1.1

$\\$ 略。$\\$

0.1.2 $\quad$ 对任意两个命题$A,B$，$A \implies B$可以定义为$B \lor (\lnot A)$。直观上可以如此理解：$B \lor (\lnot A)$成立等价于$A$不成立或$B$成立，于是当$A$成立时必有$B$成立。运用0.1.1中的逻辑运算律，证明$(A \implies B)\iff((\lnot B)\implies(\lnot A)).\\$

证明：$\\$ 利用交换律$$(A \implies B)\iff B \lor (\lnot A)\iff(\lnot A) \lor B \iff((\lnot B)\implies(\lnot A))$$这表明一个命题成立当且仅当其逆否命题成立。$\\$

0.1.3 $\quad$ 对任意三个命题$A,B,C$，运用$0.1.1$中的逻辑运算律，证明逻辑符合模律，即当$A$是$C$的必要条件时，$(A \land B) \lor C \iff A \land (B \lor C).\\$

证明：$\\$ 利用$C\implies A \iff A \lor (\lnot C)=\operatorname{True}.\\$ 于是$$(A \land B) \lor C \iff (A \lor C)\land (B \lor C) \iff (A \lor (\lnot C))\land(A \lor C)\land (B \lor C) \iff A \land (B \lor C)$$

0.1.4 $\quad$ 对任意两个命题$A,B$，我们定义异或$A \oplus B$为$(A \land (\lnot B))\lor(B \land (\lnot A)).\\$

1. 略。$\\$ 2. 证明异或满足交换律和结合律。$\\$ 直接计算立得，略。